欧拉函数

介绍

求（1，m）区间内与m互质的数的个数

公式

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。
注意：每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

变式一：

若n是质数p的k次幂， ，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

变式二：

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，

特殊性质：当n为奇数时， , 证明与上述类似。

若n为质数则

代码实现

求单个欧拉函数

#include <iostream>using namespace std;int Euler(int n){    int res = n , a = n;    for(int i = 2 ; i*i <= a ; i++)    {        if(a % i == 0)  //i一定是素数        {            res = res / i * (i - 1);  //根据公式            while(a % i == 0)  //把相同的除数排除            {                a /= i;            }        }    }    if(a > 1)  //最后只剩下 小于4的素数  或者n本身就是素数        res = res / a *(a - 1);    return res;}int main(){    int n;    while(cin >> n)    {        cout << Euler(n) << endl;    }}

线性筛求1-N的所有欧拉函数

//离线打表//筛选法求欧拉函数，时间复杂度O(nloglogn)//跟埃式筛法求素数差不多#include <iostream>using namespace std;const int MAXN = 100010;int a[MAXN];void init(){    for(int i = 1 ; i <= MAXN ; i++)        a[i] = i;    a[1] = 0;    for(int i = 1 ; i <= MAXN ; i++)    {        if(a[i] == i)        {            for(int j = i ; j <= MAXN ; j += i)                a[j] = a[j] / i * (i - 1);        }    }}int main(){    init();    int n;    while(cin >> n)    {        cout << a[n] << endl;    }}