HihoCoder 1580 RMQ+DP

题意

给一个矩阵，必须要修改一个值，使得最大子矩阵和最大。求这个最大子矩阵和。

题解

这道题非常坑的一点在于最大子矩阵并不一定要包含修改的元素，题目只是问了最大子矩阵而已。
由于这道题没有繁复的修改操作，但是存在最大值查询这一条件，我们首先考虑RMQ。可以发现这个最大子矩阵和的问题RMQ是无法解决的，于是我们考虑用DP去处理，用RMQ去进行优化。
首先我们去枚举子矩阵包含哪些行，这个是O(N^2)的，勉强可以接受。然后我们需要计算每一列这些行的和，需要注意的是，对于一个上界来说，下界每次向下推移一格，是可以利用推移前的值的，这样可以节省大量的时间。
DP[I][J]代表第I列，J==0代表不选择替换该列中的一个元素，J==1代表选择替换该列中的一个元素。我们可以得到状态转移方程

dp[i][0]=max(dp[i-1][0]+b[i],b[i]);dp[i][1]=max(b[i]+p-rmq(i,x,y),max(dp[i-1][1]+b[i],dp[i-1][0]+b[i]+p-rmq(i,x,y)));

但是需要注意的是，首先对于i==0的情况要处理一下，防止越界。另外，更重要的是，对于j==0的情况要注意一下是从那个状态转移过来的，如果这个矩阵都没替换元素的话，是不合理的，所以不能选择x==0,y==n-1,i==m-1,pre[i]=0的dp[i][0]。

注意事项

由于查询次数很多，而长度可能性很小，RMQ长度对应的K值需要预处理出来，这样就可以做到O（1）的查询。

代码

#include<bits/stdc++.h>#define LL long long#define UP(i,l,h) for(int i=l;i<h;i++)#define DOWN(i,h,l) for(int i=h-1;i>=l;i--)#define W(t) while(t)#define INF 0x3f3f3f3f#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define MAXN 2010using namespace std;int mp[MAXN][MAXN];int d[MAXN][MAXN][20];int dp[MAXN][2],pre[MAXN];int b[MAXN];int len[MAXN];int n,m,p;void rmq_init() {    UP(j,0,m) UP(i,0,n) d[j][i][0]=mp[i][j];    UP(a,0,m) {        for(int j=1; (1<<j)<=n; j++) {            for(int i=0; i+(1<<j)-1<n; i++) {                d[a][i][j]=min(d[a][i][j-1],d[a][i+(1<<(j-1))][j-1]);            }        }    }}int rmq(int a,int l,int r) {    int k=len[r-l+1];    return min(d[a][l][k],d[a][r-(1<<k)+1][k]);}int main() {//    freopen("d://input.txt","r",stdin);//        freopen("d://op1.txt","w",stdout);    W(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&p)) {        UP(i,0,1010){            int k=0;            W((1<<(k+1))<=i) k++;            len[i]=k;        }        UP(i,0,n) UP(j,0,m) scanf("%d",&mp[i][j]);        rmq_init();        int ans=-INF;        UP(x,0,n) {            MEM(b,0);            MEM(dp,0);            MEM(pre,0);            UP(y,x,n) {                UP(i,0,m) {                    b[i]+=mp[y][i];                    if(i==0) {                        dp[i][0]=b[i];                        pre[i]=0;                        dp[i][1]=b[i]+p-rmq(i,x,y);                    }else{                        if(dp[i-1][0]+b[i]>b[i]){                            dp[i][0]=dp[i-1][0]+b[i];                            pre[i]=pre[i-1];                        }else{                            dp[i][0]=b[i];                            pre[i]=i;                        }                        dp[i][1]=max(b[i]+p-rmq(i,x,y),max(dp[i-1][1]+b[i],dp[i-1][0]+b[i]+p-rmq(i,x,y)));                    }                }                UP(i,0,m){                    if(!(i==m-1&&pre[i]==0&&x==0&&y==n-1)) ans=max(ans,dp[i][0]);                    ans=max(ans,dp[i][1]);                }//                cout<<ans<<" "<<x<<" "<<y<<endl;            }        }        printf("%d\n",ans);    }}