POJ-2104 K-th Number(线段树[归并树]-区间第k大)

题目链接：

POJ-2104

题目大意：

给n个数，Q个询问，每个询问给一个区间[L,R]和k，求区间[L,R]从小到大排完序之后的第k大的数是多大？

数据范围：

1≤n≤1e51≤Q≤5000
1≤Li≤Ri≤n1≤ki≤Ri−Li+1

解题思路：

对于这种经典的问题，解法有很多种，这里介绍的是基于线段树的解法，算个板子吧！
如果有一个排好序的数组，给一个x，直接二分一下就知道x是数组的第几大了。基于这种做法，把数列用线段树维护起来。这时线段树的每个节点保存的不再是某个数值，而是对应区间排好序之后的那个数列。
建立线段树的过程和归并排序类似(如果不了解归并排序，可以看看这篇blog：link)，一个节点的数列就是其左右儿子的数列归并之后的结果。这个线段树几乎就是归并排序的再现，所以这样的线段树也叫归并树。
还是来个图，实在点。数列a[]=1,5,6,2,3,7,8,4，建出来的树就是这样：


接下来就是查询了。
- 如果要查询的区间和当前节点的区间完全没有交集，则返回0个。
- 如果要查询的区间完全包含了当前节点的区间，就像上面一样，对当前节点的数列二分一下就好。
- 否则，递归计算左右儿子，求和即可。


建树复杂度O(nlogn)，询问里面一个logn，访问节点一个logn，二分节点数列又一个logn。总复杂度O(nlogn+Qlog3n)。空间复杂度O(n)，有个常数。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <algorithm>#include <queue>#include <set>#include <map>#include <stack>#include <vector>using namespace std;typedef long long LL;const int inf = 1 << 30;const LL INF = 1LL << 60;const int MaxN = 100010;int n, m;int a[MaxN + 5];vector <int> tree[4 * MaxN + 5];void Build(int rt, int l, int r) {    if(l == r) {        tree[rt].push_back(a[l]);        return;    }    int mid = (l + r) >> 1;    Build(rt << 1, l, mid);    Build(rt << 1 | 1, mid + 1, r);    //分配(r - l + 1)个元素所需的空间    tree[rt].resize(r - l + 1);    //用STL的merge函数将左右儿子的数列合并    merge(tree[rt << 1].begin(), tree[rt << 1].end(), tree[rt << 1 | 1].begin(), tree[rt << 1 | 1].end(), tree[rt].begin());}//计算区间[L, R]中不超过x的个数int query(int rt, int l, int r, int L, int R, int x) {    if(r < L || l > R) return 0;    else if(L <= l && r <= R) {        //二分当前节点的数列中有多少个不超过x的个数        return upper_bound(tree[rt].begin(), tree[rt].end(), x) - tree[rt].begin() ;    }    else {        //递归左右儿子        int mid = (l + r) >> 1;        int lc = query(rt << 1, l, mid, L, R, x);        int rc = query(rt << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, x);        return lc + rc;    }}int main() {    while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF)    {        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);        Build(1, 1, n);        sort(a + 1, a + n + 1);        for(int i = 1; i <= m; i++) {            int L, R, k;            //求区间[L, R]中的第k个数            scanf("%d %d %d", &L, &R, &k);            int l = 1, r = n;            int mid = 0, res = 0;            while(l <= r) {                mid = (l + r) >> 1;                int ans = query(1, 1, n, L, R, a[mid]);                if(ans >= k) res = mid, r = mid - 1;                else l = mid + 1;            }            printf("%d\n", a[res]);        }    }    return 0;}