【OI赛第五场】T1树

题意

一颗二叉树，知道中序遍历是1~n,告诉你层次遍历，求字典序最小的先序遍历。

样例输入

5

4 2 5 1 3

样例输出

4 2 1 3 5

数据范围:n<=3*10^5

题解

题目的关键是把这颗树建出来，怎么建呢？就是找根，根就是一段区间在层次遍历中出现最早的，然后递归左右子树，现在的关键是求一段区间的最早出现的值。用一个B数组记录1~n中每个数出现的时间，用ST表，或线段树就可以A掉这题。复杂度O(nlogn);但这不是本题的重点。重点是用笛卡尔树O(n)的求。下面介绍一下笛卡尔树。

笛卡尔树

笛卡尔树又称笛卡儿树，在数据结构中属于二叉树的一种。

笛卡尔树结构由Vuillmin在解决范围搜索的几何数据结构问题时提出的，从数列中构造一棵笛卡尔树可以线性时间完成，需要采用基于栈的算法来找到在该数列中的所有最近小数。由此可知，笛卡尔树是一种特定的二叉树数据结构，可由数列构造，在范围最值查询、范围top k查询（range top k queries）等问题上有广泛应用。它具有堆的有序性，中序遍历可以输出原数列。

笛卡尔树是一棵二叉树，树的每个节点有两个值，一个为key，一个为value。光看key的话，笛卡尔树是一棵二叉搜索树，每个节点的左子树的key都比它小，右子树都比它大；光看value的话，笛卡尔树有点类似堆，根节点的value是最小（或者最大）的，每个节点的value都比它的子树要大。

构造笛卡尔树的过程：

使用数据结构栈，栈中保存的始终是右链，即根结点、根结点的右儿子、根结点的右儿子的右儿子……组成的链
并且栈中从栈顶到栈底key依次减小

如果按照从后到前的顺序判断一个元素是否大于A[i]，则每次插入的时间复杂度为O(k+1)
k为本次插入中移除的右链元素个数。因为每个元素最多进出右链各一次，所以整个过程的时间复杂度为O(N)。

从前往后遍历A[i]，
1.对于每一个A[i]，从栈中找出（从栈顶往栈底遍历，或者从数组后往前遍历）第一个小于等于A[i]的元素
2.如果找到，i.parent为sta[k],同时sta[k].r=i，即i为sta[k]的右子树,
3.如果栈中存在比A[i]大的元素 这些元素肯定是出栈了，这个问题最后的代码统一表示。
同时，sta[k+1].parent=i; i.l=sta[k+1] 即sta[K+1]为i的左子树
4.最后i入栈，比i大的A[i]都自动出栈了。

例子如下。
0 1 2 3 4 5 6 7 8  9      .....key
3 2 4 5 6 8 1 9 10 7      .....A,value

stack
0 1 2 3 4 5 6 7 8  ...num
0
1 2 3 4 5
6 7 8
6 9
最后sta[0].parent=-1;  为根节点 即 6 为根节点。

这里给出的是索引从0开始的[0,n-1]
如果题目给出的是[1,n]，可以减一回到[0,n-1]上。

这就是笛卡尔树的概念及建树过程。此题就可以把中序遍历1~n当成第一维权值出现的时间（满足中序遍历是1~n），把每个点的出现的时间（两个时间不要混）当做第二位权值建小根堆（因为在层次遍历出现时间越早越可能是根）。就可以O(n)建树然后遍历一遍求先序遍历了。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=300010;int s[maxn],a[maxn],b[maxn],x,n;struct tree{int fa,l,r,val;}t[maxn];inline int build(){int top=-1,k;for(int i=1;i<=n;i++){k=top;while(k>=0&&b[s[k]]>b[i])//栈中比当前元素大的都出栈 k--;if(k!=-1){//find it，栈中元素没有完全出栈，当前元素为栈顶元素的右孩子t[i].fa=s[k];t[s[k]].r=i;}if(k<top){//出栈的元素为当前元素的左孩子 t[s[k+1]].fa=i;t[i].l=s[k+1];}s[++k]=i;top=k;}t[s[0]].fa=-1;//遍历完成后的栈顶元素就是根return s[0];}inline void out(int x){if(x==-1) return ;printf("%d ",x);out(t[x].l);out(t[x].r);}int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);b[a[i]]=i;}for(int i=1;i<=n;i++){t[i].val=b[i];}for(int i=1;i<=n;i++)t[i].l=t[i].r=-1;x=build();out(x);return 0;}