支持向量机(一)——线性可分支持向量机
来源:互联网 发布:网络歌曲想问问你 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 21:47
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支持向量机(Support Vector Machine, SVM)是一种二分类模型。它的基本思想是间隔最大化。
1、线性可分支持向量机
给定训练集
假设训练集线性可分,即存在超平面能正确划分训练集,并且很容易看出这种超平面有无穷多个。分类超平面用
学习的目的,就是找到这样一个分类超平面,使其对训练集进行正确划分。上面也说了,在训练集线性可分的情况下,这样的分类超平面有无穷多个。支持向量机通过间隔最大化求最优分类超平面,这个最优超平面的解是唯一的。
1.1 函数间隔与几何间隔
函数间隔
超平面ωTx+b=0 关于样本点(xi,yi) 的函数间隔为γ^i=yi(ωTxi+b),(1)
关于训练集T的函数间隔为γ^=miniγ^i.(2)
对于分类超平面
几何间隔
超平面ωTx+b=0 关于样本点(xi,yi) 的几何间隔为γi=yi(ωTxi+b)||ω||,(3)
关于训练集T的函数间隔为γ=miniγi.(4)
几何间隔是有符号距离,只有在样本点被超平面正确分类时才是实例点到超平面的距离。
由(1)~(4)可以得到
1.2 间隔最大化
线性可分支持向量机的目的是找到把训练数据正确划分且几何间隔最大的分类超平面。间隔最大的分类超平面对未知实例有很好的泛化能力。
寻找几何间隔最大的超平面可以表示为优化问题:
可以写成约束优化问题:
把(5)代入(7)中,得到
无论
于是,令
而最大化
(10)就是线性可分支持向量机的最优化问题。针对这个优化问题,可以理解为,在所有对训练集的函数间隔为1的超平面中,选择几何间隔最大的那个。这是一个凸二次规划问题。可以用一般的凸二次规划算法求解,也可以用优化问题的拉格朗日法求解。
1.3 对偶问题
原始优化问题(10)可以通过极大极小化拉格朗日函数得到对偶优化问题,然后根据对偶问题的最优解得到原始问题的最优解。
引入拉格朗日乘子
原始问题的对偶问题是极大极小问题:
为了求对偶问题,首先求
得到
代入L中,得到
然后求
求得的对偶问题可以重写成
偶优化问题(18)的最优解和原始优化问题(10)的最优解存在,且满足KKT条件:
所以求出对偶问题(18)的最优解
至于
1.4 支持向量
由(24)(25)可知超平面只和
由(21)可知,支持向量满足
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