扩展欧几里得 求解不定方程和逆元

好气啊，本来写完了一篇关于gcd，exgcd相关证明的声情并茂的文章；

结果，手残……关了……没保存……QAQ，所以不想再详细写一篇了，百度有很多；

exgcd

1.求解同余方程，不定方程,逆元；
2.中国剩余定理……；

证明：
https://www.baidu.com/自行百度；

小学数学相关内容：
a是b的倍数（b是a的约数），a可以被b整除（b可以整除a）；

不定方程：

ax+by=c;
前提:

c mod gcd(a,b)=0;

证明：
很简单，
若ax+by=c有解;
因为
a mod gcd(a,b)=0,
b mod gcd(a,b)=0;
所以
ax+by一定被gcd(a,b)整除;
所以
c一定被gcd(a,b)整除;

求得ax+by=gcd(a,b)的解x0,y0;

显然，ax+by=c的解:

x1=x0*c/gcd(a,b);
y1=y0*c/gcd(a,b);

但是只能求解一组解，怎么求解多组解呢？

x2=x1+b/gcd(a,b)*t;
y2=y1-a/gcd(a,b)*t;

原因：
除gcd是为了防止漏解，因为a，b不一定互质；

t为任意实数；

#include<iostream>using namespace std;int x,y;int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    int r,k;    if(!b) {x=1,y=0;return a;}    r=exgcd(b,a%b,x,y);    k=x,x=y,y=k-a/b*y;    return r;}int hh(int a,int b,int c){    int d=exgcd(a,b,x,y);    if(c%d) return 0;    int k=c/d;    x*=k; y*=k;    return d;}void solve(){    int a,b,c,k,cnt=1;    cin>>a>>b>>c;    if(k=hh(a,b,c))//若有解；    {        cout<<cnt<<" : "<<x<<" "<<y<<endl;        while(cnt++)        {            x+=b/k*cnt,y=y-a/k*cnt;            cout<<cnt<<" : "<<x<<" "<<y<<endl;            if(cnt==10) cnt=0;        }    }}int main(){    solve();    return 0;}

逆元：

ax=1(mod b)

=> ax+by=1;

x是a关于b的逆元;
exgcd求解~；

K.O

总结：

noip的数论并不是很难，关键是多动手写写，不要光想；

NOIP 2017 RP ++！

神犇链接：http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/53135707