BZOJ 2115 Xor 线性基介绍（高斯消元 xor线性基）

2115: [Wc2011] Xor

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Description

Input

第一行包含两个整数N和 M， 表示该无向图中点的数目与边的数目。 接下来M 行描述 M 条边，每行三个整数Si，Ti ，Di，表示 Si 与Ti之间存在 一条权值为 Di的无向边。 图中可能有重边或自环。

Output

仅包含一个整数，表示最大的XOR和（十进制结果）,注意输出后加换行回车。

Sample Input

5 7
1 2 2
1 3 2
2 4 1
2 5 1
4 5 3
5 3 4
4 3 2

Sample Output

6

思路：
有结论最大路一定是由一条主路径（1~n）xor一些环形成的。
所以选一条从1到n的路径，然后贪心地选择一些环xor上去，就能得到ans。（不难发现最大路径一定能xor出来）
找出所有环，按照权值从大到小排好（对于一个环走多次是没有意义的）。
然后从高位到低位逐位贪心处理，这里有60位01Trie会炸掉。
从第一个数开始，若找到一个当前位为1的数，异或上这个数，把之后的数都高斯消元。

#include <cstdio>  #include <cstring>  #include <iostream>  #include <algorithm> #include <vector>  #include <string>  #include <queue>  #define N 50100#define M 200100#define LL long longusing namespace std;  int n, m, circnt;  int idc=0, head[N];  LL cir[M], dis[N];  bool vis[N];  struct Edge{    int to, nxt;    LL w;}ed[M];  inline LL read(){    LL x=0,f=1;char ch=getchar();    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}void adde(int u, int v, LL w){    ed[++idc].to = v;    ed[idc].nxt = head[u];    ed[idc].w = w;    head[u] = idc;}void dfs(int u){    vis[u] = 1;      for(int i=head[u]; i; i=ed[i].nxt){        int v = ed[i].to;        if( !vis[v] ){              dis[v] = dis[u] ^ ed[i].w;              dfs( v );          }          else cir[++circnt] = dis[v] ^ dis[u] ^ ed[i].w;//找到环     }}  void guass(){     int j, cnt = 0;//主元     for(int i=60; i>=0; i--){        for(j=cnt+1; j<=circnt; ++j)            if((1ll<<i) & cir[j]) break;          if(j > circnt) continue;          swap(cir[++cnt], cir[j]);          for(j=1; j<=circnt; ++j)            if(( (1ll<<i) & cir[j] ) && j!=cnt) cir[j] ^= cir[cnt];      }      circnt = cnt;  }int main(){    n = read(); m = read();      for(register int i=1; i<=m; ++i){        int u = read(), v = read();         LL w = read();        adde(u, v, w); adde(v, u, w);    }      dfs(1);    guass();    LL ans = dis[n];      for(int i=1; i<=circnt; ++i)        if((cir[i] ^ ans) > ans) ans ^= cir[i];      printf("%lld\n", ans);      return 0;  }  

摘自 < ljh2000 >
链接
关于线性基的学习与理解
1、线性基：
　　若干数的线性基是一组数a1,a2,…an，其中ax的最高位的1在第x位。
　　通过线性基中元素xor出的数的值域与原来的数xor出数的值域相同。

2、线性基的构造法：
　　对每一个数p从高位到低位扫，扫到第x位为1时，若ax不存在，则ax=p并结束此数的扫描，否则令p=p xor ax。

3、查询：
　　用线性基求这组数xorxor出的最大值：从高往低扫ax，若异或上ax使答案变大，则异或。

4、判断：
　　用线性基求一个数能否被xor出：从高到低，对该数每个是1的位置x，将这个数异或上ax（注意异或后这个数为1的位置和原数就不一样了），若最终变为0，则可被异或出。当然需要特判0（在构造过程中看是否有p变为0即可）。例子：(11111,10001)(11111,10001)的线性基是a5=11111，a4=01110，要判断11111能否被xor出，11111 xor a5=0，则这个数后来就没有是1的位置了，最终得到结果为0，说明11111能被xor出。

　　很多情况下，只有有关异或运算和求最值，就可以用到线性基。线性基有很多很好的性质，比如说如果有很多个数，我们可以构出这些数的线性基，那么这个线性基可以通过互相xor，能够构出原来的数可以相互xorxor构出的所有的数。所以可以大大减少判断的时间和次数。同时线性基的任何一个非空子集都不会使得其xor和为0，证明也很简单，反证法就可以说明。这个性质在很多题目中可以保证算法合法性，比如：BZOJ2460

　　构造的方法有点像贪心，从大到小保证高位更大。也比较好理解。就是这几行代码：

for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=62;j>=0;j–) {
if(!(a[i]>>j)) continue;//对线性基的这一位没有贡献
if(!p[j]) { p[j]=a[i]; break; }//选入线性基中
a[i]^=p[j];
}
}

　　可以把n个数变成只有最大的数的二进制位数那么多个数，这就是线性基的优秀之处。

　　查询的话，也是一个贪心思想，如果可以使得ans更大，就把这一位的基xorxor进ansans。

　　 for(int i=62;i>=0;i–) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i];//从线性基中得到最大值