AR模型

AR模型：

具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p):

AR(p)模型有三个限制条件：

• 。保证模型的最高阶数为p。
• 随机干扰项序列为零均值白噪声序列。
• 当期的随机干扰项与过去的序列值无关，即：

中心化AR(p)模型：

当a₀=0时，自回归模型称为中心化AR(p)模型。非中心化AR(p)模型可以通过下面的变化转换为中心化AR(p)序列。

P阶自回归系数多项式：

引进延迟算子B：

则中心化AR(p)模型可以简记为：

AR模型平稳性判别：

特征根判别法：

将AR(p)模型看作一个非齐次线性方程：

1. 齐次线性差分方程的通解：

由线性差分方程的相关理论可以知道齐次线性方程的通解为：

其中为特征方程的p个特征根。

1. 非齐次线性差分方程的的特解：

可以证明AR(P)模型的自回归系数多项式方程的根是齐次多项线性差分方程的特征根的倒数。

• 自回归系数多项式方程
• 的特征方程：

因此，可以因子分解成：

由此可以得到一个特解：

1. 非齐次线性差分方程的通解：

   

要使得AR(p)模型平稳，即要求对任意的实数｛c_i｝,都有

即可得到AR(p)平稳的充要条件：

上面的条件实际上就是要求AR(p)模型的p个特征根都在单位圆内。由特征根与自回归系数多项式的根成倒数的性质，也即的根都在单位圆外。

平稳域判别法：

1. AR(1)模型的平稳域：

   

2. AR(2)模型的平稳域：

   

平稳AR模型的统计特征：

均值：

在AR(p)模型等式两边取均值：

由平稳序列均值为常数，以及｛｝为白噪声序列可得：

中心化的AR(p)模型均值为0.

方差：

求AR(p)模型的方差需要借助Green函数，附录中给出了详细推导。

G_j函数的递推公式如下：

则：

由于｛｝是白噪声序列，方差相等，

 

平稳AR(1)模型的方差：

可以很容易得出此时格林函数的递推式：

自协方差：

对中心化AR(p)模型两边同乘，再求期望有

由AR(p)模型的限制条件3有

故可以得到自协方差函数的递推公式：

平稳AR(1)模型的自协方差函数

AR(1)的自协方差函数递推关系式为：

又

所以：

自相关系数：

由于自相关系数和自协方差有如下的关系：

可以得到自相关系数的递推式：

平稳AR(1)模型的自相关系数：

附录：

平稳AR(p)模型的方差推导：

令，称为Green函数，则

记

则，

展开整理：

    

又：

且：

整理后两项

所以：

有：

由待定系数法可以得到Green函数的递推式：