AR模型(Autoregress)

定义   设{xt,t=0,±1,±2,…}为时间序列，白噪声序列为{εt,t=0,±1,±2,…} ，且对任意的 s<t，E(xsεt)=0,则称满足等式

 

的时间序列为p阶自回归（Autoregression）序列,上式为p阶自回归模型，记作 AR(p)。

其中是自回归参数。

易见,此自回归模型描述了数据序列内部的递推的线性回归关系。

方程式可用框图表示:  设想有一个滤波器，输入的是白噪声序列，而输出的则是某种平稳序列，即

易见，滤波器成为一个对时间序列进行变换的实体，变换前的序列称为输入，经滤波器变换的得到的序列称为输出。

等式两端同乘xt-k即得

对两端取数学期望, 并由性质:

得

又因为

所以可得矩阵方差

如何求解以上矩阵获得自回归参数？可以利用Yule-Walker方程求AR(p)序列的自相关函数方法，即称为尤尔-沃克法。

其中可以用Levinson算法和Burg算法求解Yule-Walker方程来计算模型参数。

例1   单摆现象：单摆在第t个摆动周期中最大摆幅记为xt，由于阻尼作用，在第t+1个摆动周期中，其最大振幅为其中ρ为阻尼系数。若再受到外界干扰εt的影响，则实际上的最大振幅为易见, 此例即为一个一阶自回归模型 AR(1)。

例2   已知AR(4)模型为
其中w是零均值、单位方差的白噪声。
用此模型分别产生1024点数据，然后分别用Levinson算法和Burg算法求解Yule-Walker方程来计算模型参数，并与真实值进行列表比较；在此基础上，用AR模型计算其功率谱，同时用FFT直接计算功率谱，请将不同数据点数情况下两种方法的功率谱进行画图比较，并简要说明。
解：MATLAB编程实现

 图左：方法参考（也可直接调用pburg函数）                                         图右：AR估计与FFT估计功率谱曲线

误差 delta =   -0.0016   -0.0051    0.0064   -0.0053
结果分析：从图像可以看出，估计功率谱密度采用AR模型比FFT估计要平滑。