扩展欧几里得（exgcd）

应用：

解形如Ax+By=K的不定方程，求出A，B的最大公因数，求出x，y，满足Ax+By=gcd(A,B)。（想知道为什么是这个形式的可以去看裴蜀定理）

代码：

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){//此处的LL代表long long     if(a==0)    {        x=0LL;y=1LL;//这个应该很好理解，此时gcd为b，所以b前的系数y=1         return b;    }    LL tx,ty,d=exgcd(b%a,a,tx,ty);    x=ty-(b/a)*tx;y=tx;//这个可以看下面的简要证明     return d;}

简要证明：

因为exgcd(A,B,x,y)表示Ax+By=gcd(A,B)

而且exgcd(B%A,A,tx,ty)表示 B%A * tx + A*ty = gcd(B%A,A)

又gcd(A,B)== gcd(B%A,A)，所以B%A * tx + A*ty =Ax+By

范例：

解Ax+By=K。调用d=exgcd(A,B,X,Y)，得到X、Y，先判断方程是否有解：（若K%d=0则有解，否则无解）。然后我们得到真正的x，y：x=X*(K/d)，y=(K-A*x)/B。 若所求的X必须为正数，我们可以转正：X=[x*(K/d)%(B/d)+(B/d)]%(B/d)。为什么这样是正确的呢？因为：

Ax+By=K—>(A/d)x+(B/d)y=K/d，设a=(A/d),b=(B/d),k=(K/d)

ax+by=k—>a(x+pb)+b(y-pa)=k，这个p为一个数，那么这个x其实是可以加上任意倍的b，都可以得出一组解，所以可以这样转正。

实际问题中的应用：

解同余方程：ax≡b(mod n)。可以转化为：ax-pn=b。这时候有个负号怎么办？不管它，直接调用exgcd，把解出来的x转为正数即可。

求逆元：设c是b的逆元，那么b×c≡1(mod p)，因为a÷b mod p=a÷b× 1 mod p=a÷b×(b×c) mod p=a×cmodp，这样就可以转化为解同余方程的问题了。