LeetCode-Best Time to Buy and Sell Stock

原题描述：

Say  you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.If you were only permitted to complete at most one transaction (ie, buy one and sell one share of the stock), design an algorithm to find the maximum profit.Example 1:Input:[7,1,5,3,6,4]Output:5max. difference = 6 -1 =5

即：在一个数组中，第i个元素代表的是第i天的stock价格，要求在某天i买入，在某天j天卖出，使得收益最大。最多交易一次，可以不进行交易，即收益为0.

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分析：

收益 = 售出时价格 - 买进时价格

如果现在已知结果是在i天买入，在j天卖出，这些天stock的价格是：

ai,ai+1,...,aj−1,aj

收益为：aj−ai=(aj−aj−1)+(aj−1−aj−2)+...+(ai+1−ai)，为从i天到第j天的收益之和，其中(aj−aj−1),(aj−1−aj−2),...,(ai+1−ai)都是相邻两天stock的差价difference，于是问题转换成：

prices数组转换成difference数组，求difference数组的最大子array和，即寻找最大子数列

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最大子数列问题：

有数组A=[a1,a2,...,an]，从中寻找出一个连续的子数组B=[ai,ai+1,...,aj−1,aj]，使得B的和是所有子数组中最大的.

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问题分析：

对于数组A中的每个元素ak而言, 如果以ak结尾的最大子数组是Bk,那么以ak+1结尾的最大子数组是什么呢？

1. 如果Bk+1包含k+1以前的元素，那么Bk+1=ak+1∪(含k的最大和),即
   Bk+1=ak+1∪Bk
2. 如果Bk+1不包含k+1以前的元素，那么
   Bk+1=ak+1
   
   综上所述，有
   Bk+1=max(ak+1,ak+1∪Bk)

此解法称为 Kadane’s Algorithm

问题要求的最大子序列和，可以转换成求

max(B1,B2,...,Bn)

curmax=0maxsofar=0for i in range(len(A)):  curmax=max(A[i],A[i]+curmax)  maxsofar=max(curmax,maxsofar)#maxsofar就是最大子序列和

回到本题售价中，则只需要将prices数组转换成差价数组之后，使用Kadane’s Algorithm即可解决!