【数学分析+除法分块】Codeforces830C[Bamboo Partition]题解

题目概述

有 n 个竹子，每个竹子刚开始高度为 0 ，每过一天会长高 1 ，现在每过 d 天来检查一次，如果 i 竹子的高度 ≥ai 则将该竹子高度砍为 ai 且该竹子不再生长，求砍掉高度不超过 k 时 d 最大为多少。

解题报告

除法分块性质： ⌊ni⌋ 排序去重之后是 O(n√) 的。

简单说明：一个数的因子是 O(n√) 的。

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先推式子喽：

∑i=1n{d−[(ai−1) mod d+1]}≤k∑i=1n[d−(ai−1−d⌊ai−1d⌋+1)]≤knd−∑i=1n(ai−d⌊ai−1d⌋)≤knd+d∑i=1n⌊ai−1d⌋≤k+∑i=1nai

根据除法分块的性质， ⌊ai−1d⌋ 只有 ai−−√ 种情况，而 n 个则有 namax−−−−√ 种情况，所以暴力枚举然后 O(n) 验证就可以了，效率 O(n2amax−−−−√) ，好像有点慢……而且有较多的细节处理……

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不妨继续推：

d∑i=1n⌊ai+d−1d⌋≤k+∑i=1nai∑i=1n⌊ai+d−1d⌋≤k+∑ni=1aid∑i=1n⌊ai+d−1d⌋≤⌊k+∑ni=1aid⌋

由于右边只有 k+∑ni=1ai−−−−−−−−−√​ 块，而每块中 d​ 越大，左边的式子越小（右边不变），所以每块中有价值的只有最大的 d​ ，那么还是暴力枚举即可。效率 O(nk+∑ni=1ai−−−−−−−−−√)​ ，比之前的要好一些，也没什么细节处理。

示例程序

我真的没有在水博客……

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=100;int n,a[maxn+5];LL K,ans;bool check(LL d) {LL sum=0;for (int i=1;i<=n;i++) sum+=(a[i]-1)/d+1;return sum<=K/d;}int main(){    freopen("program.in","r",stdin);    freopen("program.out","w",stdout);    scanf("%d%lld",&n,&K);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),K+=a[i];    for (LL l=1,r;l<=K;l=r+1) if (check(r=K/(K/l))) ans=r;    return printf("%lld\n",ans),0;}