【莫比乌斯函数+除法分块】BZOJ2820[YY的GCD]题解

题目概述

求 (i,j)∈P,1≤i≤n,1≤j≤m ( P 是素数集)的 i,j 的个数。

解题报告

按照BZOJ2301的方法，得出答案式子：

∑p∑d=1min{A′=⌊Ap⌋,B′=⌊Bp⌋}μ(d)⌊A′d⌋⌊B′d⌋

直接枚举素数显然会爆炸，所以再转化一下，令 T=pd ，那么：

∑T=1min{A,B}⌊AT⌋⌊BT⌋∑p|Tμ(Tp)

应该挺显然的吧，然后我们只需要预处理 ∑p|Tμ(Tp) 的前缀和就可以除法分块了，这货显然埃氏筛一下即可，又因为只用素数，所以 107 也不虚QwQ。

示例程序

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=1e7;int te,n,m,mu[maxn+5],sum[maxn+5];int p[maxn+5];bool pri[maxn+5];void Make(){    pri[1]=true;mu[1]=1;    for (int i=2;i<=maxn;i++)    {        if (!pri[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;        for (int j=1,t;j<=p[0]&&(t=i*p[j])<=maxn;j++)        {            pri[t]=true;mu[t]=-mu[i];            if (!(i%p[j])) {mu[t]=0;continue;}        }    }    for (int j=1;j<=p[0];j++)    for (int i=1;i*p[j]<=maxn;i++)        sum[i*p[j]]+=mu[i];    for (int i=2;i<=maxn;i++) sum[i]+=sum[i-1];}inline LL Solve(){    scanf("%d%d",&n,&m);LL ans=0;    for (int l=1,r;l<=n&&l<=m;l=r+1)        r=min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=(LL)(sum[r]-sum[l-1])*(n/l)*(m/l);    return ans;}int main(){    freopen("program.in","r",stdin);    freopen("program.out","w",stdout);    for (Make(),scanf("%d",&te);te;te--) printf("%lld\n",Solve());    return 0;}