【证明】卡特兰数（折线法）

卡特兰数定义参考百度百科

卡特兰数能够解决的问题类似出栈顺序问题，对于一个有两种操作1,2 且1,2操作分别有n次的序列必须严格保证操作1的次数在任意前k(k∈Z)个操作中始终不小于操作2的次数，这种操作的方案数就是卡特兰数C(2n,n)/(n+1)。

我们可以用折线的方式去证明卡特兰数

在笛卡尔坐标系中，令x轴表示当前第几次操作，y轴表示当前情况下操作1比操作2多几次。那么折线在x轴上方则为合法方案。

而对于所有不合法的方案，一定存在某个正整数k，使得在前k个操作中操作2比操作1多1次，那么我们让从k+1~2n的所有操作1变成操作2，操作2变成操作1，那么很容易就可以看出最后操作1比操作2少了2次，这也就是说，不合法的方案数就等价于在2n个操作中取n-1个操作1的方案数。
在坐标系中也可以进行这样的改变，不合法方案一定交于直线y=-1，让折线关于y=-1对称，那么终点一定从(2n,0)变成了(2n,-2)。也可以很容易证明对称总是可进行而且是可逆的。这样操作1也比操作2少了两次，方案数C(2n,n-1)。

所以合法方案数为C(2n,n)-C(2n,n-1)=C(2n,n)/(n+1)

例：【DBSDFZOJ 1146】递推 排队买票

Description

有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院一开始无其它钞票，问有多少种排队方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

Input

第一行输入n(1<=n<=30)。

Output

输出一个数表示排列的方法总数。

Sample Input

2

Sample Output

8

解题思路

对于任意正整数k<=2n，前k个人中有5元钞票的人数一定不少于有10元钞票的人数。假设人没有编号，答案为卡特兰数C(2n,n)/(n+1)；当人存在编号时，对于当前某个方案，须分别计算有5元钞票的人和有10元钞票的人的全排列数，所以将答案乘(n!)^2，结果为(2n)!/(n+1)。

代码

#include<bits/stdc++.h>int main(){    int n;    scanf("%d",&n);    long long ans=1;    for(int i=1;i<=2*n;++i) ans*=i;    printf("%lld",ans/(n+1));    return 0;}