HihoCoder 1259 数位DP

题意

3× f(n) × f(2n+1) = f(2n) × (1 + 3f(n)), f(2n) < 6×f(n).。要求每一个N满足这两个式子。设所有的f(n)%k==t为g(t)，求所有g(t)的异或。

题解

首先我们需要发现f(2n)=3*f(n),f(2n+1)=3*f(n)+1。了解了这个以后，我们可以将一些数写出来，比如说1，3，4。。。如果我们把这些数写成二进制形式，可以发现，是按照二进制形式进行三进制运算得到的结果。
于是我们可以把上界N转化成二进制，然后进行数位DP。时间上Hihocoder卡的很紧，我们可以采用递推形式的数位DP。
首先我们需要预处理N，将其转化为二进制，然后从0开始进行DP，同时维护一个S值，代表的是前面的值对取模的影响。
对于每一次DP，我们首先需要判断可以取到哪些元素不越界。比如说10100这样一个二进制数，我们首先在一号位置1的时候，由于这个位置是1，所以我们允许这个位置为0的所有元素，所以可以标记一下，供下面DP使用。
然后我们更新一下S，这里需要理解一下，这个S是供上界使用的，也就是说比如上面那个例子，我们允许100xx的任何一个元素，但是由于存在100，因此这个余数不是从0开始的，所以需要记录一下。
剩下的就是暴力DP了，对两种可能的状态转移分别DP。最后输出异或值就可以了。

代码

#include<bits/stdc++.h>#define LL long long#define UP(i,l,h) for(int i=l;i<h;i++)#define DOWN(i,h,l) for(int i=h-1;i>=l;i--)#define W(t) while(t)#define INF 0x3f3f3f3f#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define MAXN 610using namespace std;LL dp[65][65560];int num[65];LL n;int k;void solve(LL x){    DOWN(i,61,0){        num[i]=x%2;//        cout<<num[i]<<endl;        x/=2;    }    int s=0;    UP(i,0,61){        UP(j,0,num[i]){            dp[i][(s*3+j)%k]+=1;        }        s=(s*3+num[i])%k;        UP(j,0,k){            dp[i+1][(j*3)%k]+=dp[i][j];            dp[i+1][(j*3+1)%k]+=dp[i][j];        }    }//    cout<<s<<endl;    dp[60][s]++;    dp[60][0]--;    LL ans=dp[60][0];    UP(i,1,k){        ans^=dp[60][i];//        cout<<dp[60][i]<<endl;    }    printf("%lld\n",ans);}int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    W(t--)    {        MEM(dp,0);        scanf("%lld%d",&n,&k);        solve(n);    }}