【广告算法工程师入门 16】机制设计-最优拍卖机制设计

最优拍卖机制

前文已经介绍到了，如果直接机制(P,M)是激励兼容的，则对所有的竞买人及真实估价vi，其预期支付只与分配规则相关，支付规则决定一个常数项。 （注意这里不再要求对称性）

通常情况下售卖者是机制的设计者，那么他们往往考虑在满足激励兼容和个体理性的约束下，设计一种最大化期望收益的机制，这种机制就是最优机制。

之前关于定价的讨论是：如果售卖者能够知道竞买者的真实估价的话，那直接就可以按照最高估价售卖即可，但是现在售卖者并不清楚真实估价，那么聪明的办法就是去估计竞买者的估价喽。售卖者估计的价值与真实的价值之间存在价值差距，这个对售卖者来说是剩余价值。有些竞买者是土豪大款，有些是普通人，就可以对不同的人设计不同的价格（比如说保留价），这样『歧视』的机制可能会给售卖者带来较大的收益了，这种现象在生活中是比比皆是。

根据竞买人的估价分布函数，构建模型，设计如下机制，可以使得售卖者收益最优。【构建模型的过程可参考相关书籍】
通过模型可以将这个公式定义为竞买人的虚拟价值
φ(x)=x−(1−F(x))/f(x)

• 分配规则为：拍卖品分配给虚拟价值最高的竞买人。
• 支付规则为：【可参考相关书籍】

如果对该虚拟价值做出适当的假设，满足正则型假设（虚拟价值与估价是单调递增函数），最优机制简化为：
- 分配规则为：拍卖品分配给虚拟价值最高的竞买人。
- 支付规则为：收取保证他虚拟价值最高的最低可能估价值
即max(φ−1(0),其他竞买人最高值）
这样的话，最优拍卖就是一个就有保留价为φ−1(0)的第二价格拍卖。也就是说每个竞买人都会有一个与其估价分布相关保留价，这就是赤裸裸的”歧视”，这个虚拟价值有研究者将其与边际价值相关联。

如果竞买者之间的对称性，那么这个保留价与前文的最优保留价是一致的。

• 如果考虑正则性和对称性，那么具有保留价为φ−1(0)的第二价格密封拍卖就是最优机制。

看一个例子：

最优拍卖机制的讨论

不要小看这个哦，这个可是诺贝尔经济学奖获得者的经典论文。
感兴趣的话可以参考1981-optimal auction design。

• 最优机制存在无效率的情况，原因有两点，第一保留价存在，可能导致拍卖品没有拍出；第二，如果竞买人是非对称的情况，那么拍卖品可能落在虚拟价值最高，真实价值不是最高的买者手里，最优机制歧视对于”处于劣势”的买者反而更有利。
• 如果拍卖中，只有一个买者，最优机制的收益可能还不如引入第二个买者，不设计保留价得到的收益大，因此来说作为拍卖而言，引入更多的竞争者，让竞争发挥作用，卖者的收益可能会有提高。
• 虽然最优拍卖机制是根据拍卖基本理论推导出来的，但是最有拍卖机制并不具有拍卖品的普适性和竞买人的匿名性这两个拍卖的基本属性，因为里面用到了竞买人的估价分布。

关键词拍卖的最优机制设计

最优机制的分配规则和支付规则太过负责，并且涉及价格歧视，所以给广告主不理解也不会接受这种机制，但是作为机制设计方来说，他们将最优机制变成了保留价的形式，嵌入到GSP机制下面，一般也不会向广告主透漏有哪些保留价。这边的推导比较复杂，这里就直接给出公式，在风险中性和独立同分布的私人估价假设下，使得收益最大化的保留价是下面式子的解：
v∗−1−F(v∗)f(v∗)=A(v∗,N)v0
其中N是竞拍者的个数，v0是持有广告位不拍卖的价值，
A(v∗,N)=FN−1(v∗)Q(v∗),分子表示其他N−1个广告主的真实估价不超过v∗的概率，分母表示真实估价为v∗的广告主获得广告位的概率，对于单物品拍卖而言，A(v∗,N)=1。注意在关键词拍卖中，广告主获得广告位并不代表其能获得其价值，需要用户点击才行，所以A(v∗,N)的分母应该表示广告位点击的概率（这里包含N，也就是说与之前的最优保留价不同，这个保留价当v0不为0时，竞拍人数越多，保留价越低，作用越弱），这但可以假设v0=0，简化求保留价。广告主估价分布和每个广告位上的点击率可以利用历史数据和经验模拟估计出来。

这个函数是单调函数，可以通过二分法反解。

竞买人估价分布预测

准确地获得竞买人的估价分布是最优拍卖实行的前提条件。如果设计的机制满足激励兼容和个体理性，且在静态拍卖的情况下，通过机器学习的方法估价竞买人的估价分布并非难事。这也是机器学习与博弈论的一个结合点了。

参考资料：
戎文晋 【关键词拍卖与理论实践】
克里斯纳，罗德明翻译【拍卖理论】