numpy 维度、轴和transpose的理解

前言

　　最近在看pandas的创始人写的一本数据分析，在其中使用numpy建立多维数组的时候提到了很多有关数组的维度和轴的一些相关的知识，而刚开始阅读的时候由于对这部分有些理解不到位，导致后面理解数组转换的时候出现了很多坑爹问题。所以特此写几个简单的实例分析一下。小伙伴们也可以一起瞅瞅，看看能不能加深一下印象。
　　

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维度

　　在数学上我们说维度是什么呢？–在一定的前提下描述一个数学对象所需的参数个数。但是我们今天所谈到的维度却和这里数学所说的维度有着一些区别。有标题可知，我们今天所要说的维度是基于numpy中的多维数组。numpy最重要的一个特点就是其N维数组对象，该对象是一个大的灵活的大数据集容器。以此利用数组来对我们获取到的整块的数据执行一些数学上的运算。绕了一圈，维度又是啥，我们先来看一下以下的代码。
　　

> data = np.array([[1,2],[4,5]])> data.shape()(2L, 2L)> data1 = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])> data1.shape(3L, 3L)

　　对人来说高维空间是很难想象的，但是我们可以从纯数学的角度来看。对多维数组来说，确定最底层的一个基本元素位置需要用到的索引个数即是维度。用上面的数组data来举一个简单的例子。当我们要获取 1 的值，我们需要使用 a[0][0], 一共用到了两个坐标索引，所以这个数组的维度是2维。
　　直观的说数组的维度就是所有基本元素左边 [ 个数的最大值。而每个坐标索引可取的值是有范围的，比如这里两个索引都只能取 0 和 1。维度与坐标值范围就组成了多维数组的 shape 属性，它是一个元组，长度代表了维度，而元组的每一个值代表了一个坐标索引可取的值个数，所以将 shape 的所有值乘起来就可以算出多维数组元素的个数。就如举例中的两个例子一个是2*2的数组，而另一个是一个3*3的数组。
　　

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轴

　　轴这个概念可以说是我第一次看到这个概念，在学习线性代数的时候，貌似也没有听过（大雾）。理解numpy中的轴的概念对我们接下来理解numpy中的转置transpose有着至关重要的作用。
　　如果我们直接说轴这个概念，童鞋们可能会比较迷茫，我们先来说一个和它非常相似的概念—坐标轴。n 维空间里有 n 个坐标轴，并且坐标轴互相垂直，每一个点相对于一条坐标轴都有唯一的一个坐标值。对同一条坐标轴来说，坐标值相同的点在同一个 n-1 维的“平面”上。任意取一个“平面”，我们就能定义“同一个坐标轴上的点”，这些点在“平面”上的投影相同，同一个坐标轴上的点组成的线是与坐标轴平行的。而所谓的延轴计算实际上是降维的过程，同一个坐标轴上的点合并成一个点，这样n维空间就变成了 n-1 维空间。如果童鞋们还不理解，这里引用一个别的博文中常提到的另外一个解释。来看下例子

>> data2array([[[ 0,  1,  2,  3],        [ 4,  5,  6,  7],        [ 8,  9, 10, 11]],       [[12, 13, 14, 15],        [16, 17, 18, 19],        [20, 21, 22, 23]]])>> data2.shape(2L, 3L, 4L)

　　这里会常常提到这样的一个例子，这个数组我们该如何称呼它呢?2行3列4个平面。这其实就和我们上面所描述的坐标轴的概念十分的接近。如果你喜欢这样的说法也是可以的。
　　看完了坐标轴，下面我们来说说轴，如果还是有些问题的童鞋可以参考一下下面的理解。要理解它，我们可以先使用一下它，并且观察一下它是如何进行操作的。我们用最简单的累加来进行一下操作。代码如下
　　

data2.sum(axis=0)Out[49]: array([[12, 14, 16, 18],       [20, 22, 24, 26],       [28, 30, 32, 34]])data2Out[50]: array([[[ 0,  1,  2,  3],        [ 4,  5,  6,  7],        [ 8,  9, 10, 11]],       [[12, 13, 14, 15],        [16, 17, 18, 19],        [20, 21, 22, 23]]])data2.sum(axis=1)Out[51]: array([[12, 15, 18, 21],       [48, 51, 54, 57]])data2.sum(axis=2)Out[52]: array([[ 6, 22, 38],       [54, 70, 86]])

　　如果你还是懵逼的，那么我们来参考一下下面的图。
　　
　　红线框代表的是以轴为0相加的情况，而黄线则是轴为1，蓝线自不必多说就是轴为2的情况。
　　具体到 numpy 中的多维数组来说，轴即是元素坐标的索引。比如，第0轴即是第1个索引，延0轴计算就是去掉坐标中的第一个索引。过程就是
1.遍历其他索引的所有可能组合
2. 取出一个组合，保持值不变，遍历第一个索引所有可能值
3.根据索引可以获得了同一个轴上的所有元素
4.对他们进行计算得到最后的元素
5.所有组合的最后结果组到一起就是最后的 n-1 维数组
所以如果一个多维数组的 shape 是 (a1, a2, a3, a4), 那么延轴0计算最后的数组shape 是 (a2, a3, a4), 延轴1计算最后的数组shape是 (a1, a3, a4)。

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Transpose

　　最后我们来说一下numpy的transpose这个参数。这个参数是我们在基于理解了轴，维度等情况下对多维数组进行的一个重要的操作，不过这个理解起来倒确实有些令人头疼。
　　首先我们对矩阵的维度进行编号，上述矩阵有三个维度，则编号分别为0，1，2，而transpose函数的参数输入就是基于这个编号的，如果我们调用transpose（0，1，2），那么矩阵将不发生变化，如果我们不输入参数，直接调用transpose（），其效果就是将矩阵进行转置，起作用等价与transpose（2，1，0）。
　　

data2.transpose(0,1,2)#(2,3,4)Out[60]: array([[[ 0,  1,  2,  3],        [ 4,  5,  6,  7],        [ 8,  9, 10, 11]],       [[12, 13, 14, 15],        [16, 17, 18, 19],        [20, 21, 22, 23]]])data2.transpose(1,0,2)#(3,2,4)Out[61]: array([[[ 0,  1,  2,  3],        [12, 13, 14, 15]],       [[ 4,  5,  6,  7],        [16, 17, 18, 19]],       [[ 8,  9, 10, 11],        [20, 21, 22, 23]]])data2.transpose(0,2,1)#(2,4,3)Out[62]: array([[[ 0,  4,  8],        [ 1,  5,  9],        [ 2,  6, 10],        [ 3,  7, 11]],       [[12, 16, 20],        [13, 17, 21],        [14, 18, 22],        [15, 19, 23]]])data2.transpose()#(4,3,2)Out[63]: array([[[ 0, 12],        [ 4, 16],        [ 8, 20]],       [[ 1, 13],        [ 5, 17],        [ 9, 21]],       [[ 2, 14],        [ 6, 18],        [10, 22]],       [[ 3, 15],        [ 7, 19],        [11, 23]]])

　　在没次变换的后面我都注明了变换的维度，大家可以参照着看一下，如果实在不懂，我建议大家多画图，这样就比较方便理解。

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总结

　　维度和轴作为理解多维数组的重要概念需要我们稍微深入地去了解，同时也算是为后面使用pandas做一个小的铺垫。
　　各位大佬如果文中有什么问题希望多多留言 谢谢。