What is N? HDU

What is N? HDU - 4335

数论，欧拉函数降幂公式

题意

求 1 - M 中 n 中 nn!=b( mod m)的个数

分析

欧拉函数降幂公式
AB(mod m)=AB % ψ(m)+ψ(m) (B<=ψ(m))

其中ψ()是欧拉函数
1. n!<ψ(m) 直接求 nn! % m
2. n!>ψ(m)和 n!%ψ(m)!=0 暴力求解，已经可以利用降幂公式
3. n! % ψ(m)=0 这个时候就变成了 n0+ψ(m),指数固定，n变化，又因为n=n+m(modm),所以从 n- n+m-1 是一个周期
同类题

参考代码

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;typedef unsigned long long LL;//注意数据范围LL Euler(LL n)//欧拉函数{    LL ans = n;    for(LL i = 2; i * i <= n; ++i)    {        if(n % i == 0)        {            ans = ans / i *(i-1);            while(n % i==0)               n /= i;        }    }    if(n != 1)        ans = ans/n*(n-1);    return ans;}LL qpow(LL q,LL a,LL m)//快速幂{    LL ans = 1;    q %= m;    while(a > 0)    {        if(a&1)            ans = ans * q % m;        q = q*q % m;        a >>= 1;    }    return ans;}const int LEN = 1e5+200;LL num[LEN];//记录一个周期int main(){      LL t = 18446744073709551615;           //  18446744073709551615//    cout<<(t)<<endl;    int T;    cin>>T;    int kase = 0;    while(T--)    {        LL ans = 0;        LL b,p,M;        cin>>b>>p>>M;        if(p==1)        {            if(M==t)//防止溢出                printf("Case #%d: 18446744073709551616\n",++kase,ans);            else                printf("Case #%d: %I64u\n",++kase,M+1);            continue;        }        LL i = 0;        LL cnt = 0;        LL exp = 1;        LL eu = Euler(p);//        LL pre = 1;        for(;i <= M&& exp < eu; ++i)        {            if(qpow(i,exp,p)==b)                ++ans;            exp *= i+1;        }        for(; i <= M&&exp; ++i)        {            if(qpow(i,exp+eu,p)==b)                ++ans;            exp *= i+1;            exp %= eu;        }        int j = 0;        for(; i <= M&&j < p; ++i,++j)        {            if(qpow(i,eu,p)==b)                ++ans,++cnt;            num[j] = cnt;        }        if(i <= M)//i ==  M的时候未处理        {            LL tmp = M-i+1;//还有多少个未判断             ans += tmp / p * cnt;//有多少个完整的循环周期            tmp = tmp % p;            if(tmp>0)            ans += num[tmp-1];        }        printf("Case #%d: %I64u\n",++kase,ans);    }    return 0;}