【089】深度学习读书笔记：P29证明迹Tr(AB)=Tr(BA)

已知m行n列矩阵A，n行m列矩阵B。Tr表示迹运算。求证 Tr(AB)=Tr(BA) 。

证明：
令 A_x,y 表示矩阵A的第x行y列元素。令C=AB。 D=BA。C是m阶方阵。D是n阶方阵。我们可以分别对A、B做如下表示：

因为迹运算只计算矩阵对角线的和，我们可以只关心方阵C的对角线。

C_1,1 = A_1,1B_1,1 + A_1,2B_2,1 + ··· + A_1,nB_n,1

C_2,2 = A_2,1B_1,2 + A_2,2B_2,2 + ··· + A_2,nB_n,2

…

C_m,m = A_m,1B_1,m + A_m,2B_2,m + ··· + A_m,nB_>n,m

根据上面的等式，用 C_j,j 表示 m 阶方阵 AB 的第 j 行 j 列元素，我们可以得到一个规律：

因为迹运算只计算矩阵对角线的和，我们可以只关心 n 阶方阵 D 的对角线。
D_1,1 = B_1,1A_1,1 + B_1,2A_2,1 + ··· + B_1,mA_m,1

D_2,2 = B_2,1A_1,2 + B_2,2A_2,2 + ··· + B_2,mA_m,2

…

D_n,n = B_n,1A_1,n + B_n,2A_2,n + ··· + B_n,mA_m,n

设n阶方阵BA 的第r行r列元素是D_r,r 。

因为在不引起混淆的前提下，求和标号是任意的。我们可以令 j=k ， i = r

所以 Tr(AB) = Tr(BA)

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我们可以得到更一般的结论。多个矩阵相乘得到的方阵的迹，和将这些矩阵中的最后一个挪到前面之后相乘的迹是相同的。当然，我们要考虑挪动矩阵后矩阵乘积依然定义良好。下面是求证的过程：

在保证挪动矩阵后矩阵乘积仍然定义良好的情况下，用F⁽ⁱ⁾表示第i个相乘的矩阵，求证

证明：