图的基础

一、图的基本概念

（一）图的定义
一个图有一些点和这些点之间的连线组成。
我们一般用G(V,E)来表示一个图。
其中，V表示顶点的集合，E表示图中边的集合。

（二）无向图和有向图
如果边是没有方向的，称为无向图，如下图。

如果边是带方向的，则成为有向图，如下图。

有向图中的边又称为弧，起点称为弧头，终点称为弧尾。

（三）带权图
一个图中如果还包含了边的权值（距离，代价，费用，时间等），则称为带权图。

（四）阶
图中顶点的个数称为图的阶。
（五）度、入度与出度
图中与某个顶点相关联的边数，称为该顶点的度。度为奇数的点称为奇点，度为偶数的点成为偶点。
在有向图中，把以顶点V为终点的边的数目称为顶点v的入度，把以顶点u为起点的边的数目称为顶点u的出度。出度为0的顶点称为终端顶点。
定理一：无向图中所有顶点的度之和等于边数的2倍，有向图中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和。
定理二：任意一个无向图一定有偶数个（或0个）奇点。
（六）完全图
无向图中，任意两个顶点都存在一条边，则称为完全图

有向图中，任意两个顶点都存在着两条方向相反的边，则称为完全图。
n阶完全有向图含有 n*(n-1)条边，n阶完全无向图含有 n*(n-1)/2 条边。
（七）子图
有两个图G=(V,E)和G’=(V’,E’).如果V’是V的子集，E’是E的子集，则称G’是G的子图。
（八）路径
在一个G=(V,E)的图中，从顶点v到顶点u的所经过的顶点序列V0， V1，……Vm称为从顶点v到顶点u的一条路径。其中V0=v，Vm=u。路径长度是指路径上的边或弧的数目。
（九）连通图
在无向图G中，如果从顶点u到顶点v有路径，则称u和v是连通的。如果对于图G中的任意两个顶点u和v都是连通的，则称图G是连通图，否则称为非连通图。
在有向图中，如果对于任意两个顶点u和v，从u到v和从v到u都存在路径，则称图G是强连通图。

二、图的存储结构

（一）边集数组表示
定义一个结构体数组，存储边的起点和终点。

struct   bian   {             int s；//边的起点          int e；//边的终点          int v；//边的权值   }B[];

（二）邻接矩阵表示法
矩阵即二维数组。
设G=(V,E)是一个n阶图，顶点为（V0,V1,……Vn-1）.则可以定义一个n阶矩阵arr[n][n]。即n行n列的二维数组。如果存在边(Vi，Vj)，则矩阵中arr[i][j]=1,否则arr[i][j]=0.
带权图 arr[i][j]=权值 即可。

如图，表示为

带权图

表示为