数据结构——第四讲、树（中）（2）

4.2 平衡二叉树

二叉搜索树插入节点的顺序不同，得到的二叉树的搜索效率也会发生变化，自然而然的我们就会产生一个疑问，什么样的树比较好？答案就是平衡二叉树，完全二叉树或满二叉树都是平衡二叉树。

平衡二叉树是树上所有的节点的平衡因子都为1，这个平衡因子就是这个节点左右子树的高度差。

平衡二叉树的高度和节点数的关系是 log n 。

一个已经平衡的二叉树，如果插入节点就会使它不平衡，为此需要做一些调整，分为四种不同情况：RR、RL、LL、LR。

RR：插在某节点右儿子的右边；
LL：插在某节点左儿子的左边；
RL：插在某节点右儿子的左边；
LR：插在某节点左儿子的右边；

卧槽，平衡二叉树点击量格外高，本来打算以后再写的，所有的代码在中国大学mooc网浙江大学的数据结构课里面都有，有的在视频里有的在课后的文本里面，有需要的可以直接去看原版。

//先定义AVL树的节点typedef struct AVLNode *AVLTree;struct AVLNode{    ElementType Data;    AVLTree Left;    AVLTree Right;    int Height;}//需要一个返回最大值的函数用来更新树高Max(int a, int b){return a>b?a:b;}//用四个函数做调整，传入一个不平衡的节点，返回一个平衡的节点；/*插在左儿子的左边，就把它的左儿子提上来，把左儿子的右边接到它的左边（因为左儿子的右边比左儿子大比它小）*/AVLTree LLRotation(AVLTree A){    AVLTree B = A->Left;    A->Left = B->Right;    B->Right = A;    /*只有某个节点的左右子树发生变化了，它自己的高度才会发生变化，否则它自己的高度不变，而且这里必须先更新A的高度，因为更新B的高度的时候要用到A的高度。*/    A->Height = Max(A->Left->Height,A->Right->Height)+1;    B->Height = Max(B->Left->Height,A->Height)+1;   //B的Right就是A；    return B;}//插在右儿子的右边，与LL类似，把右儿子提上来，右儿子的左边接在它的右边AVLTree RRRotation(AVLTree A){    AVLTree B = A->Right;    A->Right = B->Left;    B->Left = A;    A->Height = Max(A->Left->Height,A->Right->Height)+1;    B->Height = Max(B->Left->Height,A->Height)+1;    return B;}/*插在右儿子的左边，需要先将右儿子LL旋，然后再将它自己RR旋转回来，这就一定要符合右儿子左边这种插入情况才能调用此函数，否则会出错。画图可以更清楚的看到实际上做了哪些调整，至于为什么通过左右旋能达到同样的目的不会出错，我也不知道。*/AVLTree RLRotation(AVLTree A){    A->Right = LLRotation(A->Right);    return RRRotation(A);}//同理可得LRAVLTree LRRotation(AVLTree A){    A->Left = RRRotation(A->Left);    return LLRotation(A);}//插入函数本体，输入要插入的数据和平衡树，返回已经插入好的平衡树。AVLTree Insert(ElementType x, AVLTree T){    if(!T){        T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));        T->Data = x;        T->Left = T->Right = NULL;        T->Height = 0;    }    else{        if(x > T->Data){            T->Right = Insert(x,T->Right);            if(T->Right->Height - T->Left->Height == 2){                if(x > T->Right->Data)                    T = RRRotation(T);                else                    T = RLRotation(T);            }        }        else if(x < T->Data){            T->Left = Insert(x,T->Left);            if(T->Left->Height - T->Right->Height == 2){                if(x < T->Left->Data)                    T = LLRotation(T);                else                    T = LRRotation(T);        }    }    T->Height = Max(T->Right->Height,T->Left->Height)+1;    return T;}