陈越《数据结构》第四讲 树（中）

4.1 二叉搜索树

4.1.1 定义与抽象数据类型的基本操作

1.定义：

一棵二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：
1. 非空 左子树 的所有 键值小于其根结点 的键值。
2. 非空 右子树 的所有 键值大于其根结点 的键值。
3. 左、右子树都是二叉搜索树 。

2.抽象数据类型：

查找：
1.1. Position Find( ElementType X, BinTree BST ) ：从二叉搜索树BST中查找元素X ，返回其所在结点的地址；
1.2. Position FindMin( BinTree BST ) ：从二叉搜索树BST 中查找并返回最小元素所在结点的地址；
1.3. Position FindMax( BinTree BST ) ：从二叉搜索树BST 中查找并返回最大元素所在结点的地址。

注：
1. 尾递归都可以用循环实现！
2. 查找效率与树的高度有关！

插入与删除
1. BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST )
2. BinTree Delete( ElementType X, BinTree BST )
注：
1. 插入和删除有三种情况：
- 没有左儿子和右儿子；
- 只有左儿子或者右儿子；
- 既有左儿子又有右儿子（选取右子树中最小的那个）。

4.2 平衡二叉树

---

4.2.1 定义和特点

1.平衡因子和平衡二叉树

平衡因子定义：
平衡因子（Balance Factor，简称BF）: BF(T)=hL−hR其中hL 和hR 分别为T左、右子树的高度。

---

平衡二叉树的定义：
平衡二叉树(Balanced Binary Tree)（AVL)：
空树，或者任一结点左、右子树高度差的绝对值不超过1 ，即|BF(T)|≤1。

2.平衡因子的高度

---

4.2.2 平衡二叉树的调整

---

整体思路：
发现“麻烦节点”，寻找麻烦节点的的原因（RR、LR、LL、RL），最后根据原因进行求解。

1. RR旋转
   

//函数传入头结点APosition N = A->Right;A->Right = N->Left;N->Left = A;return N;

1. LL旋转
   

//函数传入头结点APosition N = A->Left;A->Left = N->Right;N->Right = A;return N;

1. LR旋转
   

先左旋转，后右旋转；

1. RL旋转
   

先右旋转，后左旋转；

---

4.3

5-4 是否同一棵二叉搜索树 (25分)
给定一个插入序列就可以唯一确定一棵二叉搜索树。然而，一棵给定的二叉搜索树却可以由多种不同的插入序列得到。例如分别按照序列{2, 1, 3}和{2, 3, 1}插入初始为空的二叉搜索树，都得到一样的结果。于是对于输入的各种插入序列，你需要判断它们是否能生成一样的二叉搜索树。

输入格式:
输入包含若干组测试数据。每组数据的第1行给出两个正整数N(≤10)和L，分别是每个序列插入元素的个数和需要检查的序列个数。第2行给出N个以空格分隔的正整数，作为初始插入序列。最后L行，每行给出N个插入的元素，属于L个需要检查的序列。

简单起见，我们保证每个插入序列都是1到N的一个排列。当读到N为0时，标志输入结束，这组数据不要处理。

输出格式:
对每一组需要检查的序列，如果其生成的二叉搜索树跟对应的初始序列生成的一样，输出“Yes”，否则输出“No”。

输入样例:

4 2
3 1 4 2
3 4 1 2
3 2 4 1
2 1
2 1
1 2
0
输出样例:
Yes
No
No

#include<stdio.h>#include<iostream>typedef struct TreeNode *Tree;struct TreeNode{    int v;    Tree Left,Right;    int flag;};/*build Tree*/Tree MakeTree(int N);Tree Insert(Tree T,int V);Tree NewNode(int V);/*distinguish wheather is same tree or not*/int Judge(Tree T,int N);int check(Tree T,int V);/*other function help to distinguish the sameTree */void ResetT(Tree T);void FreeTree(Tree T);int main(){    int N,L,i;    Tree T;    scanf("%d",&N);    while(N)    {        scanf("%d",&L);        T = MakeTree(N);        for(i=0;i<L;i++)        {            if(Judge(T,N))printf("Yes\n");            else printf("No\n");            ResetT(T);        }        FreeTree(T);        scanf("%d",&N);    }    return 0;}Tree MakeTree(int N){/*build a tree*/    Tree T;    int i,V;    scanf("%d",&V);    T = NewNode(V);    for(i=1;i<N;i++)    {        scanf("%d",&V);        T = Insert(T,V);    }    return T;}Tree NewNode(int V){ /* get new space */    Tree T = (Tree)malloc(sizeof(struct TreeNode));    T->v = V;    T->Left = T->Right = NULL;    T->flag = 0;    return T;}Tree Insert(Tree T,int V){/*Insert the new space*/    if(!T) T = NewNode(V);    else    {        if(T->v < V)            T->Right = Insert(T->Right,V);        else            T->Left = Insert(T->Left,V);    }    return T;}int check(Tree T, int V){/*check the V weather at T or not*/    if(T->flag)    {        if(V < T->v) return check(T->Left,V);        else if(V > T->v)            return check(T->Right,V);        else            return 0;    }    else    {        if(V == T->v)        {            T->flag = 1;            return 1;        }        else return 0;    }}int Judge(Tree T, int N){    int i,V,flag = 0;    scanf("%d",&V);    if(V != T->v) flag = 1;    else T->flag = 1;    for(i = 1; i < N;i++){        scanf("%d",&V);        if((!flag)&&(!check(T,V)))flag = 1;    }    if(flag)return 0;    else return 1;}void ResetT(Tree T){/*clear all the flag in the Tree T*/    if(T->Left) ResetT(T->Left);    if(T->Right)ResetT(T->Right);    T->flag = 0;}void FreeTree(Tree T){/*Let the space of T free*/    if(T->Left) FreeTree(T->Left);    if(T->Right) FreeTree(T->Right);    free(T);}

4.4

---

#include<stdio.h>#include<iostream>typedef struct TreeNode *AVLTree;typedef struct TreeNode *Position;struct TreeNode{    int Date;    AVLTree Left;    AVLTree Right;    int Height;};AVLTree Insert(int Data, AVLTree T);//插入数值Position RRRotation(Position A);//RR旋转Position LLRotation(Position A);//LL旋转Position LRRotation(Position A);//LR旋转Position RLRotation(Position A);//RL旋转int Max(int x1,int x2);//返回较大的那个数int Height(Position p);//返回一个节点的高度int main(){    int N = 0,i = 0,data = 0;    AVLTree T = NULL;    scanf("%d",&N);    for(i = 0;i < N; i++)    {        scanf("%d",&data);        T = Insert(data , T);    }    printf("%d\n",T->Date);    //system("pause");    return 0;}Position LLRotation(Position A){    Position temp = NULL;    temp = A->Left;    A->Left = temp->Right;    temp->Right = A;    A->Height = Max(Height(A->Left),Height(A->Right))+1;    temp->Height = Max(Height(temp->Left),Height(temp->Right))+1;    return temp;}Position RRRotation(Position A){    Position temp = A->Right;    A->Right = temp->Left;    temp->Left = A;    A->Height = Max(Height(A->Left),Height(A->Right))+1;    temp->Height = Max(Height(temp->Left),Height(temp->Right))+1;    return temp;}Position LRRotation(Position A){    A->Left = RRRotation(A->Left);    return LLRotation(A);}Position RLRotation(Position A){    A->Right = LLRotation(A->Right);    return RRRotation(A);}AVLTree Insert(int Data, AVLTree T){    if(T == NULL)    {        T = (AVLTree)(malloc(sizeof(struct TreeNode)));        T->Date = Data;        T->Left = NULL;        T->Right = NULL;        T->Height = 0;    }    else if(Data < T->Date)//往左子树插入    {        T->Left = Insert(Data,T->Left);        if(Height(T->Left) - Height(T->Right) == 2)        {            if(Data < T->Left->Date)                T = LLRotation(T);            else                T = LRRotation(T);        }    }    else if(Data > T->Date) //往右子树插入    {        T->Right = Insert(Data,T->Right);        if(Height(T->Right) - Height(T->Left) == 2)        {            if(Data > T->Right->Date)                T = RRRotation(T);            else                T = RLRotation(T);        }    }    /*更新节点高度*/    T->Height = Max(Height(T->Left),Height(T->Right))+1;    return T;}int Max(int x1, int x2){    if (x1 == x2)        return x1;    else        return (x1>x2)? x1 : x2;}int Height(Position P){    if(P == NULL)        return -1;    else         return P->Height;}

---

4.5

---

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef int ElementType;typedef struct TNode *Position;typedef Position BinTree;struct TNode{    ElementType Data;    BinTree Left;    BinTree Right;};void PreorderTraversal( BinTree BT ); /* 先序遍历，由裁判实现，细节不表 */void InorderTraversal( BinTree BT );  /* 中序遍历，由裁判实现，细节不表 */BinTree Insert( BinTree BST, ElementType X );BinTree Delete( BinTree BST, ElementType X );Position Find( BinTree BST, ElementType X );Position FindMin( BinTree BST );Position FindMax( BinTree BST );int main(){    BinTree BST, MinP, MaxP, Tmp;    ElementType X;    int N, i;    BST = NULL;    scanf("%d", &N);    for ( i=0; i<N; i++ ) {        scanf("%d", &X);        BST = Insert(BST, X);    }    printf("Preorder:"); PreorderTraversal(BST); printf("\n");    MinP = FindMin(BST);    MaxP = FindMax(BST);    scanf("%d", &N);    for( i=0; i<N; i++ ) {        scanf("%d", &X);        Tmp = Find(BST, X);        if (Tmp == NULL) printf("%d is not found\n", X);        else {            printf("%d is found\n", Tmp->Data);            if (Tmp==MinP) printf("%d is the smallest key\n", Tmp->Data);            if (Tmp==MaxP) printf("%d is the largest key\n", Tmp->Data);        }    }    scanf("%d", &N);    for( i=0; i<N; i++ ) {        scanf("%d", &X);        BST = Delete(BST, X);    }    printf("Inorder:");    InorderTraversal(BST);    printf("\n");    return 0;}/* 你的代码将被嵌在这里 */void PreorderTraversal( BinTree BT ){    if(BT==NULL) return;    else{    printf(" %c",BT->Data);    PreorderTraversal(BT->Left);        PreorderTraversal(BT->Right);    }}void InorderTraversal( BinTree BT ){    if(BT==NULL) return;    else{    InorderTraversal(BT->Left);    printf(" %c",BT->Data);    InorderTraversal(BT->Right);    }}BinTree Insert( BinTree BST, ElementType X ){    if(!BST)//如果BST为空的话，返回只有一个节点的树    {        BST=(BinTree)malloc(sizeof(struct TNode));        BST->Data=X;        BST->Left=NULL;        BST->Right=NULL;    }    else//如果BST不是为空的话    {//开始寻找要插入的位置        if(X<BST->Data)            BST->Left=Insert(BST->Left,X);        else if(X>BST ->Data)            BST->Right=Insert(BST->Right,X);    }    return BST;}BinTree Delete( BinTree BST, ElementType X ){    BinTree Tmp;    if(!BST) printf("Not Found\n");    else{        if(X<BST->Data)            BST->Left=Delete(BST->Left,X);        else if(X>BST->Data)        {            BST->Right=Delete(BST->Right,X);        }        else//考虑如果找到这个位置，并且有左节点或者右节点或者没有节点三种情况        {            if(BST->Left && BST->Right) {                Tmp=FindMin(BST->Right);   /* 在右子树中找到最小结点填充删除结点 */                BST->Data = Tmp ->Data;                BST->Right=Delete(BST->Right,BST->Data);/* 递归删除要删除结点的右子树中最小元素 */            }            else            {                                 /* 被删除结点有一个或没有子结点*/                Tmp = BST;                if(!BST->Left) BST = BST->Right;        /*有右孩子或者没孩子*/                else if(!BST->Right)    BST = BST->Left;/*有左孩子，一定要加else，不然BST可能是NULL，会段错误*/                free(Tmp);                              /*如无左右孩子直接删除*/            }       }    }    return BST;}Position Find( BinTree BST, ElementType X ){    if(!BST) return NULL;    if(BST->Data==X) return BST;    else if(X<BST->Data) {        return Find(BST->Left,X);    }    else if(X>BST->Data)    {        return Find(BST->Right,X);    }    return BST;}Position FindMin( BinTree BST ){    if(BST!=NULL)    {        while(BST->Left)            BST=BST->Left;    }    return BST;}Position FindMax( BinTree BST ){    if(BST!=NULL)    {        while(BST->Right)             BST=BST->Right;    }    return BST;}