最近公共祖先LCA（Tarjan与DFS--ST倍增）

定义

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。

解决方案

最简单的LCA问题即给你一棵n个节点的树，q个询问求x与y的LCA。

朴素算法

一般能想到的最暴力的方法就是：对于两个节点x,y，不断把深度较大的一个往上移，直到两个点相遇。

但是显然这样模拟是非常慢的，复杂度可以达到O(n∗q)。

于是我们可以采取以下两种方法。

DFS–ST算法（在线）

算法思想

既然一个一个移这么慢，有没有什么办法能移得快一点呢？答案当然是肯定的。

用ST表啊（没学过不要紧，我也是先学LCA再学ST的）！倍增多快对不对！

算法实现

类似的，定义fa[i][j]表示i的2j的祖先，因此fa[i][0]就是i的爸爸。

而对于其它的fa[i][j](j>0)该怎么搞呢？

对于fa[i][j](j>0)，有如下递推式（仔细yy一下）：

fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];

然后就可以一下子跳一大步啦！

时间复杂度O(log2n∗(n+q))

代码实现：

void dfs(int x,int dep){//先DFS记录深度与fa[i][0]    depth[x]=dep;    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)//邻接表        if (ed[i].to!=fa[x][0]){            fa[ed[i].to][0]=x;            dfs(ed[i].to,dep+1);        }}void make(){//递推    for (int j=1;j<=19;j++)//j要放在最外层        for (int i=1;i<=n;i++)            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];//递推式}int LCA(int x,int y){//寻找LCA    if (depth[x]<depth[y]) swap(x,y);    for (int i=19;i>=0;i--)//一定要先跳大步，不然会跳漏掉，下同        if (depth[fa[x][i]]>=depth[y]) x=fa[x][i];//先把x与y调到同一深度    if (x==y) return x;//如果恰好相等，直接返回    for (int i=19;i>=0;i--)//两个一起跳，跳到两者的父亲一样为止        if (fa[x][i]!=fa[y][i]){            x=fa[x][i]; y=fa[y][i];        }    return fa[x][0];}

Tarjan算法（离线）

算法思想：

有些时候题目允许你离线操作，这时便可以采用另一种方法：Tarjan。

Tarjan其实就是一个DFS的过程，对于节点x，把它的子树与它进行合并（并查集维护）。再遍历x的询问，如果y已经访问过，则y的祖先就是(x,y)的LCA。

根据DFS的性质，如果y 被搜完了，那么y所更新到的祖先(findfather(y))必然同时也是x的祖先，并且是深度最大的。所以LCA(x,y)=findfather(y)。

可能解释的不是很清楚，读者们可以画画图体会一下我太懒啦

时间复杂度O(n+q)

算法实现

具体实现只需要按照这几个步骤即可：

①：从根节点开始遍历（DFS）。

②：遍历节点x的子节点，并标记其为已访问。

③：把子节点合并到x上。

④：遍历x的询问，如果发现y已标记，则该询问的答案即为findfather(y)。

代码：

int findfather(int x){//并查集查询+路压    if (fa[x]==x) return x;    return fa[x]=findfather(fa[x]);}void Tarjan(int x){    f[x]=true; fa[x]=x;//标记    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)//遍历子节点        if (!f[ed[i].to]){            Tarjan(ed[i].to); fa[ed[i].to]=x;        }    for (int i=h1[x];i;i=ed[i].next)//遍历询问        if (f[ed[i].to]) ans[ed[i].num]=findfather(ed[i].to);}

模板

以洛谷P3379为例：

先放两张图感受下ST与Tarjan的快慢

ST：

Tarjan：

差距自行体会（两者均加了读优）

ST代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define MAXN 500000using namespace std;struct edge{    int next,to;};int n,s,q,k;int fa[MAXN+5][20],h[MAXN+5],depth[MAXN+5];edge ed[MAXN*2+5];inline char readc(){//读优    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);    if (l==r) return EOF; return *l++;}inline int _read(){    int num=0; char ch=readc();    while (ch<'0'||ch>'9') ch=readc();    while (ch>='0'&&ch<='9') { num=num*10+ch-48; ch=readc(); }    return num;}void addedge(int x,int y){    ed[++k].next=h[x]; ed[k].to=y; h[x]=k;}void dfs(int x,int dep){    depth[x]=dep;    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)        if (ed[i].to!=fa[x][0]){            fa[ed[i].to][0]=x;            dfs(ed[i].to,dep+1);        }}void make(){    for (int j=1;j<=19;j++)        for (int i=1;i<=n;i++)            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];}int LCA(int x,int y){    if (depth[x]<depth[y]) swap(x,y);    for (int i=19;i>=0;i--)        if (depth[fa[x][i]]>=depth[y]) x=fa[x][i];    if (x==y) return x;    for (int i=19;i>=0;i--)        if (fa[x][i]!=fa[y][i]){            x=fa[x][i]; y=fa[y][i];        }    return fa[x][0];}int main(){    n=_read(); q=_read(); s=_read();    for (int i=1;i<n;i++){        int u=_read(),v=_read();        addedge(u,v); addedge(v,u);    }    fa[s][0]=s;    dfs(s,0);    make();    while (q--){        int u=_read(),v=_read();        printf("%d\n",LCA(u,v));    }    return 0;}

Tarjan代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<vector>#define MAXN 500000using namespace std;struct edge{    int next,to,num;};int n,s,q,k;int fa[MAXN+5],h[MAXN+5],ans[MAXN+5],h1[MAXN+5];edge ed[MAXN*4+5];bool f[MAXN+5];inline char readc(){    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);    if (l==r) return EOF; return *l++;}inline int _read(){    int num=0; char ch=readc();    while (ch<'0'||ch>'9') ch=readc();    while (ch>='0'&&ch<='9') { num=num*10+ch-48; ch=readc(); }    return num;}void addedge(int x,int y,int *h,int num){    ed[++k].next=h[x]; ed[k].to=y; ed[k].num=num; h[x]=k;}int findfather(int x){    if (fa[x]==x) return x;    return fa[x]=findfather(fa[x]);}void Tarjan(int x){    f[x]=true; fa[x]=x;    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)        if (!f[ed[i].to]){            Tarjan(ed[i].to); fa[ed[i].to]=x;        }    for (int i=h1[x];i;i=ed[i].next)        if (f[ed[i].to]) ans[ed[i].num]=findfather(ed[i].to);}int main(){    n=_read(); q=_read(); s=_read();    for (int i=1;i<n;i++){        int u=_read(),v=_read();         addedge(u,v,h,0); addedge(v,u,h,0);    }    for (int i=1;i<=q;i++){        int u=_read(),v=_read();        addedge(u,v,h1,i); addedge(v,u,h1,i);    }    Tarjan(s);    for (int i=1;i<=q;i++) printf("%d\n",ans[i]);    return 0;}