［洛谷 1066］2^k进制数---组合数学+高精度

题目描述

设r是个2^k 进制数，并满足以下条件：

（1）r至少是个2位的2^k 进制数。

（2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。

在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k< w<=30000）是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的r共有多少个？

我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。

例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：

2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。

3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。

所以，满足要求的r共有36个。
输入输出格式
输入格式：

输入只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

k W

输出格式：

输出为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。

（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

输入输出样例
输入样例#1：

3 7

输出样例#1：

36

说明

NOIP 2006 提高组 第四题

分析

（表示很少做数论题，看题解看了半天，智商严重欠费）

　　其实题目已经差不多透露了，这是一道数学题（也可视为递推或动归）．．
　　依照题目所述方法，最多可分为（　w/k+(w%k==0?0:1)　）
　　除去首位，即　＂(w%k==0?0:1)＂这一部分，其余的10进制数均在0—(2^k)-1之间
　　按照条件2的约束，可分为2种情况：
　　　　1.首位为0，则该情况的总个数为Ｃ((2^k)-1,2)+C((2^k)-1,3)+…+C((2^k)-1,w/k)
　　　　｛　2位数+3位数+．．．+w/k位数　｝
　　　　2.首位x＞0，则该情况的总个数为sum(Ｃ((2^k)-1-x,w/k))
　　　　｛　最高位限制了可选个数和范围　｝
　　最终ans只需将两种情况加起来即可，不过需要高精（由于只有加法，压位也行）
　　PS:Ｃ(m,n)=C(m-1,n-1)+C(m-1,n) { C[m,m]=C[m,0]=1 }

代码

#include <cstdio>#include <cstdlib>#define open(s) freopen(s".in","r",stdin); freopen(s".out","w",stdout);#define close fclose(stdin); fclose(stdout); using namespace std;struct Bigint//自定义结构体{    int size;    int num[200];    Bigint operator + (const Bigint &b)//重载加法（其实和函数差不多）    {        Bigint p=*this;//赋值当前结构体的内容        int m=size>b.size?size:b.size,r=0;        for(int i=1;i<=m;++i)        {            p.num[i]+=b.num[i]+r;            r=p.num[i]/10;            p.num[i]%=10;        }        for(;r;r/=10)            p.num[++m]=r%10;        p.size=m;           return p;//返回新的结果    }    inline void wri()//输出函数    {        for(int i=size;i;--i)            putchar(num[i]+'0');    }};int n,m;Bigint f[512][512];//记忆搜索Bigint ans;inline int read(){    int k=1;    int sum=0;    char c=getchar();    for(;'0'>c || c>'9' ;c=getchar())        if(c=='-') k=-1;    for(;'0'<=c && c<='9';c=getchar())        sum=sum*10+c-'0';    return sum*k;}inline void write(int x){    if(x<0) { putchar('-'); x*=-1; }    if(x>9) write(x/10);    putchar(x%10+'0');}inline Bigint get_C(int x,int y)//记搜{    if(f[x][y].size) return f[x][y];    if(x==y || !y) return f[x][y]=(Bigint){1,{0,1}};//边界    return f[x][y]=get_C(x-1,y-1)+get_C(x-1,y);}int main(){    open("1066");    int k=read(),w=read();    int n=(1<<k)-1,m=w/k;    int m2=(1<<(w-k*m))-1;    for(int i=2;i<=m && i<=n;++i)//首位为0        ans=ans+get_C(n,i);    if(m2)        for(int i=1;i<=m2 && i<=n && m<=n-i;++i)//首位不为0        //注意边界条件限制        ans=ans+get_C(n-i,m);    ans.wri();    close;    return 0;}