数据结构——树与二叉树

1.树的基本概念

1）树的定义

是若干节点的集合，由唯一的根和若干互不相交的子树组成的

树是一种非线性的数据结构

树的节点书目可以为0，此时为空树

2）树的基本术语

节点的度：节点拥有的子树个数或者分支个数

树的度：树中各节点度的最大值

叶子节点：又叫终端节点，指度为0的节点

层次：从根开始，根为第一层，根的孩子为第二层，根的孩子的孩子为第三次，以此类推

树的高度（深度）：树中节点的最大层次，如共有4层，则高度为4

节点的深度和高度：深度从根节点算起，根节点的深度为1；高度从最底层叶子节点算起，最底层的叶子节点的高度为1

有序树：树中节点的子树从左到右是有顺序的，不能交换

丰满树：即理想平衡树，要求除底层外，其它层都是满的

森林：若干棵互不相交的树的集合

3）树的存储结构△

①顺序存储结构

双亲存储结构

②链式存储结构

a.孩子存储结构

b.孩子兄弟存储结构

2.二叉树

1）二叉树的定义

①每个节点最多2个子树，即二叉树中节点的度只能为0,1,2

②子树有左右顺序之分，不能颠倒

2）满二叉树

所有的分支节点都有左孩子和右孩子，叶子节点集中在最底层

3）完全二叉树

满二叉树去掉一些节点后，剩下节点与原来满二叉树编号相同

3.二叉树的主要性质

1）非空二叉树上叶子节点数等于双分支节点树+1

证：设二叉树上叶子节点数为n0，单分支节点数为n1，双分支节点数为n2

显然，总结点数=n0+n1+n2

总分支数=n1+2n2，总结点数=总分支数+根节点=总分支数+1=n1+2n2+1

所以n0+n1+n2=n1+2n2+1，即n0=n2+1

2）二叉树第i层上最多有2^(i-1)(i≥1)个节点

3）高度（或深度）为k的二叉树最多有2^k-1（k≥1）个节点

4）有n个节点的完全二叉树，对各节点从上到下，从左到右依次编号（1~n），则节点之间有如下关系

若i为某节点A的编号，则：

如果i≠1，则A的双亲节点编号为[i/2]

如果2i≤n，则A的左孩子节点编号为2i，如果2i>n，则A无左孩子

如果2i+1≤n，则A的左孩子节点编号为2i+1，如果2i+1>n，则A右左孩子

注：有时候从0开始先全体加1按照上面求节点编号，之后再减1得到真实的节点编号

5）函数Catalan()：给定n个节点能构成h(n)种不同的二叉树，h(n)=C(n,2n)/(n+1)

6）具有n个节点的完全二叉树高度（或深度）为[log2(n)]+1或者[log2(n+1)]

4.二叉树的存储结构

1）顺序存储结构

最适合于完全二叉树，用于存储一般二叉树会浪费大量的存储空间

用BTree[]数组来存储节点元素，下标从1开始存储，满足二叉树的性质

2）链式存储结构

public class BinaryTree<T>{

private class BTNode{

BTNode lchild;//左孩子

BTNode rchild;//右孩子

T data;//数据域

}

private BTNode root;//根节点

}

5.二叉树的遍历算法

1）先序遍历

①访问根节点

②先序遍历左子树

③先序遍历右子树

2）中序遍历

①中序遍历左子树

②访问根节点

③中序遍历右子树

3）后序遍历

①后序遍历左子树

②后序遍历右子树

③访问根节点

4）层次遍历

从根节点开始，一层访问完再访问下一层

5）先序遍历和中序遍历、中序遍历和后序遍历可以唯一确定二叉树，而先序遍历和后序遍历则不能

package tree.遍历;@SuppressWarnings("unused")public class BinaryTree {//节点private class BTNode{public char data;//数据域public BTNode lchild;//左指针域public BTNode rchild;//右指针域}private BTNode root;private int maxSize;//访问节点的函数public void visit(BTNode p){//根据需要写操作}//先序遍历public void preorder(BTNode p){if(p != null){visit(p);preorder(p.lchild);preorder(p.rchild);}}//中序遍历public void inorder(BTNode p){if(p != null){preorder(p.lchild);visit(p);preorder(p.rchild);}}//后序遍历public void postorder(BTNode p){if(p != null){preorder(p.lchild);preorder(p.rchild);visit(p);}}//层次遍历public void level(BTNode p){int front = 0,rear = 0;//首尾指针BTNode[] queue = new BTNode[maxSize];//创建循环队列BTNode q = new BTNode();if(p != null){//根节点入队rear = (rear + 1) % maxSize;queue[rear] = p;//队列不为空时循环while(front != rear){front = (front + 1) % maxSize;//首指针后移，指向队首元素q = queue[front];//出队visit(q);//访问队首节点//如果左子树不空，则左子树入队if(q.lchild != null){rear = (rear + 1) & maxSize;queue[rear] = q.lchild;}//如果右子树不空，则右子树入队if(q.rchild != null){rear = (rear + 1) & maxSize;queue[rear] = q.rchild;}}}}}

6.遍历算法的改进

深度优先算法非递归形式，运用自定义栈+循环

package tree.遍历改进;@SuppressWarnings("unused")public class BinaryTree {// 节点private class BTNode {public char data;// 数据域public BTNode lchild;// 左指针域public BTNode rchild;// 右指针域}private BTNode root;private int maxSize;// 访问节点的函数public void visit(BTNode p) {// 根据需要写操作}//先序遍历非递归算法public void preorderNonrecursion(BTNode p){if(p != null){BTNode[] stack = new BTNode[maxSize];int top = -1;stack[++top] = p;BTNode q = new BTNode();while(top != -1){q = stack[top--];visit(q);//栈是先进后出，所以右孩子先入栈if(q.rchild != null){stack[++top] = q.rchild;}if(q.lchild != null){stack[++top] = q.lchild;}}}}//中序遍历非递归算法public void inorderNonrecursion(BTNode p){if(p != null){BTNode[] stack = new BTNode[maxSize];int top = -1;BTNode q = p;while(top != -1 || q != null){//只要节点左孩子还在，就一直入栈while(q != null){stack[++top] = q;q = q.lchild;}if(top != -1){q = stack[top--];visit(q);q = q.rchild;}}}}//后序遍历非递归算法public void postorderNonrecursion(BTNode p){if(p != null){BTNode[] stack1 = new BTNode[maxSize];//存储逆后序遍历BTNode[] stack2 = new BTNode[maxSize];//存储后序遍历int top1 = -1;int top2 = -1;stack1[++top1] = p;BTNode q = new BTNode();while(top1 != -1){q = stack1[top1--];stack2[++top2] = q;visit(q);//后序遍历的逆序恰巧是先序遍历左右优先顺序颠倒的结果(节点-右孩子-左孩子)if(q.lchild != null){stack1[++top1] = q.lchild;}if(q.rchild != null){stack1[++top1] = q.rchild;}}while(top2 != -1){q = stack2[top2--];visit(q);}}}}

线索二叉树还是用递归形式

package tree.线索二叉树;/** * @author 芜情 * */@SuppressWarnings("unused")public class BinaryTree {private class TBTNode{public char data;//数据域int ltag;//左线索标记int rtag;//右线索标记TBTNode lchild;//左指针域TBTNode rchild;//右指针域}private TBTNode root;private void visit(TBTNode p) {// 访问函数}//中序线索二叉树递归算法public void inThread(TBTNode p,TBTNode pre){if(p != null){inThread(p.lchild, pre);//递归，左子树线索化//建立当前节点前驱线索if(p.lchild == null){p.lchild = pre;p.ltag = 1;}//建立前驱节点的后继线索if(pre != null && pre.rchild == null){pre.rchild = p;pre.rtag = 1;}pre = p;inThread(p.rchild, pre);//递归，右子树线索化}}//中序线索二叉树主程序@SuppressWarnings("null")public void createInThread(TBTNode root){TBTNode pre = null;if(root != null){inThread(root, pre);pre.rchild = null;//处理最后一个节点的后继pre.rtag = 1;}}/* * 遍历中序线索二叉树 *///求以p为根的中序线索二叉树中第一个节点private TBTNode first(TBTNode p){while(p.ltag == 0){p = p.lchild;}return p;}//求以p为根的中序线索二叉树中最后一个节点private TBTNode last(TBTNode p){while(p.rtag == 0){p = p.rchild;}return p;}//求p在中序线索二叉树中的后继节点private TBTNode next(TBTNode p){if(p.rtag == 0){return first(p.rchild);}return p.rchild;}//求p在中序线索二叉树中的前驱节点private TBTNode prior(TBTNode p){if(p.ltag == 0){return last(p.lchild);}return p.lchild;}//遍历public void inorder(TBTNode root){for(TBTNode p = first(root);p != null; p=next(p)){visit(p);}}/* * 先序线索二叉树的遍历 *///先序线索二叉树public void preThread(TBTNode p,TBTNode pre){if(p != null){if(p.lchild == null){p.lchild = pre;p.ltag = 1;}if(pre != null && pre.rchild == null){pre.rchild = p;pre.rtag = 1;}pre = p;if(p.ltag == 0){preThread(p.lchild, pre);}if(p.rtag == 0){preThread(p.rchild, pre);}}}//遍历先序线索二叉树public void preorder(TBTNode root){if(root != null){TBTNode p = root;while(p != null){while(p.ltag == 0){visit(p);p = p.lchild;}visit(p);p = p.rchild;}}}}

7.树和森林与二叉树的相互转换

1）树转换为二叉树

①将同一节点的各孩子用线串起来

②将每个节点的分支从左往右除了第一个之外，其余的都剪掉

③调整节点使之符合二叉树的层次结构

注：左子节点是第一个孩子，右子节点是相邻的下一个兄弟

2）二叉树转为树

与上面相反

3）森林转换为二叉树

本质上还是树转为二叉树，只是原本根节点是没有兄弟的，所以右子节点为null

现在是多棵树组成的森林，所以根节点右子节点用来放相邻的下一个根节点

4）二叉树转换为森林

首先将森林断开成各个树，然后就是二叉树转树

5）树和森林的遍历

1>树的遍历

①先序遍历

转换成二叉树后先序遍历

②后序遍历

转换成二叉树后中序遍历

2>森林的遍历

①先序遍历

转换成二叉树后先序遍历

②后序遍历

转换成二叉树后中序遍历

8.赫夫曼树额赫夫曼编码（默认为二叉树）

1）与赫夫曼树相关的一些概念

赫夫曼树又叫作最优二叉树，它的特点是带权路径最短

路径：从树的一个节点到另一个节点的分支所构成的路线

路径长度：路径上分支的书目

树的路径长度：根到每个节点的路径长度之和

带权路径长度：节点具有权值，从该节点到根路径长度乘以节点权值

树的带权路径长度（WPL）：所有叶子节点的带权路径长度之和

2）赫夫曼树的构造方法

3）赫夫曼树的特点

①权值越大的节点，距离根节点越近

②树中没有度为1的加点。这类树叫做正则（严格）二叉树

③树的带权路径长度最短

4）赫夫曼编码

理解~~~没法表达...