图论题目集

杂题

POJ 2449 Remmarguts’ Date(中等) AC
题意：经典问题：K短路
解法：dijkstra+A*(rec)，方法很多
该题亦放在搜索推荐题中

POJ 3013 - Big Christmas Tree(基础) AC
题意：最简单最短路，但此题要过，需要较好的程序速度和，还要注意精度
解法：Dijkstra

POJ 3463 - Sightseeing(中等) AC

题意：最短路和比最短路大1的路的数量
解法：需要真正理解dijkstra

POJ 3613 - Cow Relays(较难) AC
题意：求经过N条边的最短路
解法：floyd + 倍增，贪心

POJ 3621 - Sightseeing Cows(中等) AC
题意：求一个环路，欢乐值 / 总路径最大
解法：参数搜索 + 最短路(ms 原始的bellman tle, 用spfa才过)

POJ 3635 - full tank?(中等) ac
题意：最短路变形
解法：广搜

生成树问题

基本的生成树就不放上来了
POJ 1639 - Picnic Planning(较难) AC
题意：顶点度数有限制的最小生成树
解法：贪心 + prim/kruskal

POJ 1679 - The Unique MST(基础) AC
题意：判断MST是否唯一
解法：prim就行，不过还是易错的题

POJ 2728 - Desert King(中等) AC
题意：所谓最优比率生成树
解法：参数搜索 + prim

POJ 3164 - Command Network(难) AC
题意：最小树形图
解法：刘朱算法，这个考到的可能性比较小吧？

POJ 3522 - Slim Span(基础) AC
题意：求一颗生成树，让最大边最小边差值最小
解法：kruskal活用

连通性，度数，拓扑问题

此类问题主要牵扯到DFS，缩点等技巧
POJ 1236 - Network of Schools(基础) AC
题意：问添加多少边可成为完全连通图
解法：缩点，看度数

POJ 1659 - Frogs’ Neighborhood(基础) AC
题意：根据度序列构造图
解法：贪心，详细证明参见havel定理

POJ 2553 - The Bottom of a Graph(基础) （好题） AC
出度为0的强连通分量的所有的点

POJ 2186 - Popular Cows(基础) （好题） AC
题意：强连通分量缩点图出度为0的点

POJ 2762 - Going from u to v or from v to u?(中等) AC
题意：单向连通图判定
解法：缩点 + dp找最长链 (我是用 缩点+ 欧拉路判断，最后证明这方法是错的)

POJ 2914 - Minimum Cut(难) （难） AC
题意：无向图最小割
解法：Stoer-Wagner算法，用网络流加枚举判定会挂

POJ 2942 - Knights of the Round Table(难)
题意：求双联通分量(或称块)中是否含奇圈
解法：求出双连通分量后做黑白染色进行二分图图判定

POJ 3177 - Redundant Paths(中等)
题意：添加多少条边可成为双向连通图（任意两点间有两条不共边的路径）
解法：把割边分开的不同分量缩点构树，看入度
公式： 入度为1的leaf个数， ( leaf + 1 ) / 2

POJ 3352 - Road Construction(中等)
题意：添加多少条边可成为双向连通图（当删除任意一条边的时候，图还保持连通性）
解法：把割边分开的不同分量缩点构树，看入度 ( leaf + 1 ) / 2
建议对比下1236，有向图添加多少条边变成强连通图

POJ 3249 - Test for Job(基础)
解法：bfs / dfs + dp

POJ 3592 - Instantaneous Transference(基础)
解法：缩点，最长路，少人做的水题，注意细节 （和 3160 类似）

POJ 3687 - Labeling Balls(中等) （莫名其妙，有空再重新看）
解法：拓扑排序

POJ 3694 - Network(中等)
解法：双连通分量+并查集

2-SAT问题

此类问题理解合取式的含义就不难
POJ 2723 - Get Luffy Out(中等) （好题）
解法：二分 + 2-SAT判定

POJ 2749 - Building roads(较难)
解法：二分 + 2-SAT判定

POJ 3207 - Ikki’s Story IV - Panda’s Trick(基础)
解法：简单的2-sat，不过其他方法更快

POJ 3648- Wedding(中等)
解法：用2-sat做会比较有意思，但是暴搜照样0ms

POJ 3678 - Katu Puzzle(基础)
解法：直接按合取式构图验证就行了（本质）

POJ 3683 - Priest John’s Busiest Day(中等)
解法：n^2枚举点之间的相容性构图，求解2-SAT (要求输出方案)

POJ 2296 Map Labeler (中等) (第七道)
解法：上下边形成2元关系。然后构完图，求2-SAT

POJ 3905 Perfect Election(中等) (第八道)
解法: 建好矛盾，直接就是2-SAT

最大流问题

变形很多，最小割最大流定理的理解是关键
POJ 1149 - PIGS(较难) （灰常好题！强烈推荐）

绝对经典的构图题
POJ 1273 - Drainage Ditches(基础)

最大流入门
POJ 1459 - Power Network(基础)

基本构图
POJ 1637 - Sightseeing tour(Crazy)
题意：求混合图的欧拉迹是否存在
解法：无向边任意定向，构图，详建黑书P324

POJ 1815 - Friendship(中等)
题意：求最小点割
解法：拆点转换为边割

POJ 1966 - Cable TV Network(中等)
题意：去掉多少点让图不连通
解法：任定一源点，枚举汇点求点割集(转换到求边割)，求其中最小的点割

POJ 2112 - Optimal Milking(基础) （好题）
二分枚举，最大流

POJ 2391 - Ombrophobic Bovines(中等) （好题）
题意：floyd, 拆点，二分枚举

POJ 2396 - Budget(中等)
题意：有源汇的上下界可行流
解法：用矩阵-网络流模型构图，然后拆边

最小割模型在竞赛中的应用

POJ 2455 - Secret Milking Machine(基础) （好题）
二分枚举，一般来说需要写对边容量的更新操作而不是每次全部重新构图

POJ 2699 - The Maximum Number of Strong Kings(较难)
解法：枚举人数 + 最大流(感谢xpcnq_71大牛的建图的提示)

POJ 2987 - Firing(较难) （经典）
题意：最大权闭包
解法：先边权放大，第一问总量-最大流，第二问求最小割

RQNOJ 最大获利Profit(中等) （经典）
最大权闭包图的特殊情况

ZOJ 2071 - Technology Trader
也是此类型，最大权闭包图。 多加了输出 买哪些组件，使效益最大。

POJ 3084 - Panic Room(中等，好题)
题意：略
解法：根据最小割建模

POJ 3155 - Hard Life(很挑战一题) （难）
题意：最大密度子图
解法：参数搜索 + 最大权闭合图，A.V.Goldberg的论文(nb解法)
最小割模型在信息学竞赛中的应用 一文中也有讲

POJ 3189 - Steady Cow Assignment(中等)
题意：寻找最小的区间完成匹配
解法：这题充分说明SAP的强大，纯暴力可过。更好的方法是在枚举区间的过程中不断删边和加边继续网络流过程

POJ 3204 - Ikki’s Story I - Road Reconstruction(基础)

ZOJ 2532 - Internship(基础)
题意：确定边是否是某个割中的边
解法：两边dfs求割, 或暴力枚举(需要写取消某条增广路的操作(但数据弱，也许不取消也能混过))

POJ 3308 - Paratroopers(较难)

POJ 2125 - Destroying The Graph(难)
题意：最小点权覆盖

POJ 3469 - Dual Core CPU(中等)
题意：最小割

POJ 3498 - March of the Penguins(中等)
题意：满足点容量限制的网络流
解法：拆点把点容量转换为边容量，枚举汇点

ZOJ 2587 - Unique Attack(较难)
题意：确定最小割是否是唯一的
解法：得理解dfs求最小割算法的本质

SPOJ 839 - Optimal Marks(难)
题意：略
解法：很经典哦，见amber的集训队论文，根据标号的每一位求最小割

SGU 326 - Perspective(中等)
比较经典的构图法
费用流问题
可以KM解的就不放在这里，另外，感觉除非很特殊的图，一般用连续增广路的算法就够了

POJ 2175 - Evacuation Plan(中等)
题意：判断是否给定解是最优解，比较阴的一题
解法：根据给出的计划构造流，然后消且只消一次负圈

POJ 3422 - Kaka’s Matrix Travels(中等)
题意：略
解法：拆点

POJ 3680 - Intervals(较难)
题意：略，这题还是蛮经典
解法：discuss中比较详细

SPOJ 371 - Boxes(简单)
题意：略
解法：费用流，但似乎有比网络流更好的做法

SGU 185 - Two shortest(中等)
题意：求两条不想交的最短路径
解法：费用流，也可以最短路 + 最大流。

匹配问题

正确理解KM算法是很重要的

这里我还要说几句：最正确解最小权匹配的办法是用一个很大的数-当前边权值，而不是直接对边权取反(这样只能处理左右点相等的完全二分图，即K(n, n)

POJ 1486 - Sorting Slides(中等)
题意：二分图的必须边
解法：需正真理解最大匹配算法，详见http://hi.baidu.com/kevin0602/blog/item/1d5be63b5bec9bec14cecb44.html

POJ 1904 - King’s Quest(中等，好题)
题意：求二分图所有可能的匹配边
解法：虽然最终不是用匹配算法，但需要理解匹配的思想转换成强连通分量问题。

POJ 2060 -Taxi Cab Scheme(基础)
题意：最小路径覆盖

POJ 2594 -Treasure Exploration(中等)
题意：可相交最小路径覆盖
解法：先传递闭包转化下

POJ 3041 - Asteroids(基础)
解法: 简单行列匹配

POJ 2226 - Muddy Fields(基础)
题意：行列的覆盖
解法：最小点集覆盖 = 最大匹配

POJ 2195 - Going Home(基础)
题意：最小权值匹配
解法：KM算法

POJ 2400 - Supervisor, Supervisee(中等)
题意：输出所有最小权匹配
解法：KM, 然后回溯解，汗，输入的两个矩阵居然是反过来的

POJ 2516 -Minimum Cost(中等)
题意：最小权值匹配或最小费用流
解法：拆点 + KM算法(只有正确的才能过)，费用流(ms错的可能也能过)

POJ 3686 - The Windy’s(较难)
题意：最小权值匹配
解法：拆点,然后尽管用KM算法去水吧，数据其实弱得不得了 O(50 * 50 * 2500) -> 16ms

SPOJ 412 - K-path cover(较难)
题意：略
解法：很牛叉的一道匹配

SGU 206. Roads(较难)
解法：经典题目，也可以使用spoj 412那题的优化
NP问题
一般是搜索或dp解的

POJ 1419 - Graph Coloring(基础)
题意：图的着色
解法：搜索，可惜题目的数据真是太弱了

POJ 2989 - All Friends(难)
题意：极大团数量
解法：开始狂tle, 后来找了论文：Finding All Cliques of an Undirected Graph（Coen Bron & Joep Kerboscht）

ZOJ 1492 - Maximum Clique(基础)
题意：图的最大团
解法：搜索，如果要求速度，可参考下相应论文

其他

不能成大类的
POJ 1470 - Closest Common Ancestors(基础)
题意：LCA问题
解法：tarjan或RMQ，另外输入很恶心

POJ 1985 - Cow Marathon(基础)
题意：树上的最长路径
解法：dp

POJ 1986 - Distance Queries(中等)
题意：LCA
解法：tarjan或RMQ

HOJ 11192 - Justice League(有趣的图论)

HOJ 11277 - New Island(有趣的图论)

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