[leetcode] median of two sorted arrays[C++ vector版本]

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

Example 1:

nums1 = [1, 3]nums2 = [2]The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]nums2 = [3, 4]The median is (2 + 3)/2 = 2.5

思路：

原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。（但是不能此时认为B[k/2-1]就是中位数，因为A[k/2]后面的数可能还是小于B[B[k/2-1]],举例：A=[1,2,3,4,5] B=[1,100,101,102]）

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

最终实现的代码为：

C++版本：

class Solution {public:    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {            int n=nums1.size(),m=nums2.size();            if((n+m)%2){                return (double) findK(nums1,0,n-1,nums2,0,m-1,(n+m)/2+1);            }else {                return (double) (findK(nums1,0,n-1,nums2,0,m-1,(n+m)/2)+findK(nums1,0,n-1,nums2,0,m-1,(n+m)/2+1))/2;            }    }   int findK(vector<int>& nums1, int a, int b, vector<int>& nums2, int c, int d, int k){        if (b - a>d - c) return findK(nums2, c, d, nums1, a, b, k);        if (b<a) return nums2[k - 1];        if (k == 1) return min(nums1[a], nums2[c]);        int x = min(k / 2, b - a + 1);        int y = k - x;        if (nums1[a + x - 1] == nums2[c + y - 1]){            return nums1[a + x - 1];        }        else if (nums1[a + x - 1]<nums2[c + y - 1]){            return findK(nums1, a + x, b, nums2, c, d, k - x);        }        else {            return findK(nums1, a , b, nums2, c + y, d, k - y);        }    }};

C语言版本：明显利用数组指针的形式要比vector简洁。

double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)  {      //always assume that m is equal or smaller than n      if (m > n)          return findKth(b, n, a, m, k);      if (m == 0)          return b[k - 1];      if (k == 1)          return min(a[0], b[0]);      //divide k into two parts      int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;      if (a[pa - 1] < b[pb - 1])          return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);      else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])          return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);      else          return a[pa - 1];  }    class Solution  {  public:      double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)      {          int total = m + n;          if (total & 0x1)              return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);          else              return (findKth(A, m, B, n, total / 2)                      + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;      }  };