算法笔记 //06_集合划分问题

★问题描述

n 个元素的集合 {1,2,……, n } 可以划分为若干个非空子集。例如，当 n=4 时，集合 {1，2，3，4} 可以划分为 15 个不同的非空子集如下：

★编程任务

给定正整数 n，计算出 n 个元素的集合 {1,2,……, n } 可以划分为多少个不同的非空子集。

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★算法思想

//有 n 个元素的集合，在每次对其进行划分时，都可以划分成由 m 个子集构成的子集，并且易知：1 <= m <= n；
//建立一个函数 F(n, m) 表示将 n 个元素的集合划分成由 m 个子集构成的集合的方法个数：
//考虑以下几种情况：
//1. 当 m == 1，则 F(n, m) = 1;
//2. 当 n == m，则 F(n, m) = 1;
//3. 若非以上两种，则 f(n, m) 可以由下面两种情况构成：
// a.向 n - 1 个元素划分成的 m 个集合里面添加一个新的元素，则有 m * F(n - 1, m) 种方法；
// 比如：1234 先将3个元素（这里 n - 1 为 3）123 划分成两个（设 m = 2）子集构成的集合{{12}{3}}，然后将 4 分别加到这俩子集里：{{124}{3}} 或 {{12}{34}}，也就是说每种情况都要乘上 m 种方法
// b.向 n - 1 个元素划分成的 m - 1 个集合里添加一个由一个元素形成的独立的集合，则有 F(n - 1, m - 1) 种方法。
// 比如：1234 先将3个元素 123 成 1 个（m - 1 = 1）子集构成的集合{{123}}，然后将{4}这个独立子集加进去：{{123}{4}}，即只有一种方法，没有乘数
//综上：F(n,m) = F(n-1,m-1) + m * F(n-1,m)
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★C++ 代码如下 （Visual Studio 2017）:

#include "stdafx.h"#include<iostream>  #include<cstdio>  #include<stdio.h>using namespace std;int F(int n, int m)     //记录当前元素个数时，一共有多少种划分方法的函数{    if (m == 1 || n == m)        return 1;    else        return F(n - 1, m - 1) + F(n - 1, m) * m;}void main(){    int n;    while (!0)    {        cout << "Please input the total number of the elements(bigger than zero): ";        if (scanf_s("%d", &n) >= 1)        {            int sum = 0;    //定义一个记录总数的变量 sum            for (int i = 1;i <= n;i++)            {                sum += F(n, i);            }            cout << "The result is: " << sum << endl;            cout << "_______________________________________________________________" << endl;        }    }    system("pause");}