算法学习2

分治三步骤：
分解：将原问题分解为若干个模块较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题。
解决：把规模较小容易被解决的直接解，否则递归解各个子问题。
合并：将子问题的解合并为原问题的解。

参考
中国大学MOOC - 算法基础
话歪之地的博客

1 归并排序

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数组排序任务可以如下完成：
1) 把前一半排序
2) 把后一半排序
3) 把两半归并到一个新的有序数组，然后再拷贝回原数组，排序完成。

// -------- 代码实现归并排序 ---------#include<iostream>  using namespace std;  int a[10]={5,7,9,1,8,4,6,10,3,2}, b[10];  //将数组a的局部a[s,m]和a[m+1,e]合并到temp,并保证temp有序，然后再拷贝回a[s,m]  // 归并时间复杂度:O(e-m+1),即O(n)void Merge(int a[], int s, int m, int e, int temp[]){      int pb=0;  // 指向临时数组    int p1=s, p2=m+1;  // 分别指向前一半和后一半数组    while(p1<=m && p2<=e){          if(a[p2] < a[p1])              temp[pb++] = a[p2++];          else              temp[pb++] = a[p1++];      }      while(p1<=m)          temp[pb++] = a[p1++];      while(p2<=e)          temp[pb++] = a[p2++];      for(int i=0; i<pb; i++){          a[s+i] = temp[i];      }  }  //对数组a，将a[s]到a[e]归并排序  void MergeSort(int a[], int s, int e, int temp[]){      if(s < e){          int m = s +(e-s)/2;          MergeSort(a,s,m,temp);  // 前一半排序        MergeSort(a,m+1,e,temp);// 后一半排序        Merge(a,s,m,e,temp);    // 合并    }  }  int main(){      int length = sizeof(a)/sizeof(int);  // 需要排序的元素个数    MergeSort(a,0,length-1,b);  // 归并函数    for(int i=0;i<length;i++)          cout<<a[i]<<' ';      return 0;  }

归并排序的时间复杂度
对n个元素进行排序的时间

T(n)=2∗T(n2)+a∗n=2∗(2∗T(n4)+a∗n2)+a∗n=4∗T(n4)+2a∗n=4∗(2∗T(n8)+a∗n4)+2a∗n=8∗T(n8)+3a∗n=⋯=2k∗T(n2k)+ka∗n

一直做到 n2k=1, 此时 ( k=log2n )，
T(n)=2k∗T(1)+ka∗n=2k+ka∗n=n+a∗(log2n)∗n
复杂度 O(nlogn) 。

2 快速排序

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数组排序任务可以如下：
1）设k = a[0]，将k挪到适当位置，使得比k小的元素都在k左边，比k大的元素都在k右边。（O(n)时间完成）
2）把k左边的部分快速排序
3）把k右边的部分快速排序

    #include<iostream>      using namespace std;      //对数组a,从a[s]到a[e]进行快排      void QuickSort(int a[], int s, int e){          if(s >= e) return;          int key = a[s];          int left = s, right = e;          while(left != right){              while(left<right && a[right]>=key)  //从右往左找到比key小的                  right--;              a[left] = a[right];              while(left<right && a[left]<=key)   //从左到右找到比key大的                  left++;              a[right] = a[left];          }          a[left] = key;                          //此时left和right相等          QuickSort(a,s,left-1);          QuickSort(a,left+1,e);      }      int main(){          int a[]={5,7,9,1,8,4,6,10,3,2};          int length = sizeof(a)/sizeof(int);          QuickSort(a,0,length-1);          for(int i=0;i<length;i++)              cout<<a[i]<<' ';          return 0;      }

3 棋盘覆盖

棋盘覆盖问题分析(附代码)

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