背包九讲——01背包（降维+常数级优化）

来源：互联网发布：淘宝休闲裤背景素材编辑：程序博客网时间：2024/06/10 03:33

题目：

共n个物体，第i个重量为w[i]，价值v[i]，背包最多能背不超过W的物体，求最大的价值

分析：

每个物体只有一个，在容量允许时（W>w[i]），则对于每个物体只有取、不取两种选择

状态：dp[i][j]：前i个物体，在容量为j的时候，最大的价值

状态转移：

 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);

二维核心：

for(i = 1; i<=n; i++){    for(j = 0; j<=W; j++)    {        if(j<w[i])            dp[i][j] = dp[i-1][j];        else            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);    }}

二维代码：

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <string.h>#include <string>#include <math.h>#include <algorithm>#include <queue>#include <stack>#include <map>#include <vector> using namespace std; int w[100], v[100];int dp[100][100]; int main(){    freopen("a.txt", "r", stdin);    int n, W, i, j;    while(~scanf("%d%d", &W, &n))    {        memset(dp, 0, sizeof(dp));        for(i = 1; i<=n; i++)        {            scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);        }        for(i = 1; i<=n; i++)        {            for(j = 0; j<=W; j++)            {                if(j<w[i])                    dp[i][j] = dp[i-1][j];                else                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);            }        }        printf("%d\n", dp[n][W]);    }    return 0;}

降维：

减行，第i个物体的更新，只依赖于第i-1个的物体的结果

所以可以用滚动数组，每次只存i和i-1时候的值（可得：dp[n][W] → dp[2][W] ）

删行，第i个物体在容积为j状态的更新，只依赖i-1物体容量里j-w[i]的状态的结果

所以，从后面开始向前更新，则求j位置时候，j-w[i]的值依旧为i-1时候的值（可得：dp[n][W] → dp[W] ）

一维核心：

for(i = 1; i<=n; i++){    for(j = W; j>=w[i]; j--) //从后向前，此时dp[j-w[i]]相当于dp[i-1][j-w[i]]    {        dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);    }}

一维代码：

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <string.h>#include <string>#include <math.h>#include <algorithm>#include <queue>#include <stack>#include <map>#include <vector> using namespace std; int w[100], v[100];int dp[100]; int main(){    freopen("a.txt", "r", stdin);    int n, W, i, j;    while(~scanf("%d%d", &W, &n))    {        memset(dp, 0, sizeof(dp));        for(i = 1; i<=n; i++)        {            scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);        }        for(i = 1; i<=n; i++)        {            for(j = W; j>=w[i]; j--)            {                dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);            }        }        printf("%d\n", dp[W]);    }    return 0;}

初始化：

1、memset(dp, 0, sizeof(dp))

求不超过容积的W的最大价值

容积有剩余的状态依旧有值，为前一个恰好装满最优解的值

2、memset(dp, -0x3f, sizeof(dp)); //负无穷、不可达点（当前值约为：-1e+10）

求恰好装满容积的最大价值（可能无解）

当且仅当恰好装满的状态有值，其他存在空白容积的状态无法到达

常数级优化：

一维中的内循环下限，由j>=w[i] → j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])}

1、下限为j>=w[i]时候

在所有剩余容积大于等于w[i]时候，选择取、不取第i物品

2、下限为j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])}时候

只更新在i+1时候需要用到的状态，并不把所以可能状态求出

常数级优化代码：

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <string.h>#include <string>#include <math.h>#include <algorithm>#include <queue>#include <stack>#include <map>#include <vector> using namespace std; int w[100], v[100];int dp[100]; int main(){    freopen("a.txt", "r", stdin);    int n, W, i, j;    while(~scanf("%d%d", &W, &n))    {        memset(dp, 0, sizeof(dp));        for(i = 1; i<=n; i++)        {            scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);        }        int lower, sum = 0;        for(i = 1; i<=n; i++)        {            if(i!=1) sum += w[i-1];            lower = max(sum, w[i]);            for(j = W; j>=lower; j--)            {                dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);            }        }        printf("%d\n", dp[W]);    }    return 0;}

大神总结的，博客原址http://739789987.blog.51cto.com/8328242/1438296

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