纪中国庆集训 简要题解

QaQ主要是因为题目太难写不动blog一直在调程序……所以只好先口胡一波题解
A组10/5
T1：
题意 找k次连续的”23”，每次若”2”的位置为奇数则将其变为”22”，反之为”23”，求最后串变成了什么
题解 我们会发现实际上只有两种循环节”223”和”233”，且要求开头再奇数位，其他的消掉之后不会再产生太多……于是只要不断维护下一个就好了 可以用一个指针直接维护，看情况前移后移，可以发现还是线性的。也可以维护一个链表维护下有序序列，不过太麻烦了？
T3：

A组10/6
T1：
题意 设f(i)表示不大于i的数中与i互质的数的平均数，求∑Ri=Lf(i)k 模某经典质数
题解 首先由于(x,y)=1⇒(x,x−y)=1，那么我们可以发现其实f(i)=i
于是这题就变成自然数幂和的裸题辣 有好多经典做法 某次CF的EduRound还出过一次E（好像是10左右吧）
由于我们可以证明自然数幂和是有k+1次的通项的，所以我们只要爆算到k+2的自然数幂和然后用拉格朗日插值就可以搞出这题了。本质上来说，就是高斯消元爆解，但是拉格朗日插值法无疑更加简单。
既然是插值法，那就是构造下函数使得函数过k+2个点，那么我们只要考虑对于x=i，让除了包含当前应该有的yi外的项都来一个(x−i)消掉，然后有yi的那一项只需要让系数为1，然后考虑到其他x≠i的情况只需要除掉∏k+2j=1,j≠i(j−i)就好了 然后显然是对的。
我用的其实是斯特林数 懒得讲辣
这题还可以用差分表搞出来 等我看完FuLan大爷的博客再来填坑……

T3:
题意：先给出一些字符串 然后动态加进去字符串和查询一些字符串的公共后缀长度
题解：竟然没看出有Trie的动态做法我是不是傻了……
（第一眼：离线把串拼在一起！SA！
过了一会：诶好像还能Hash？算了不管了
考试后：哇哇哇还能Trie动态做……）
先不考虑动态加串 倒着加字符串然后丢Trie里 乱跑LCA
然后再考虑加了串之后怎么继续维护LCA
我们发现给新加的点稍微维护下向上倍增的数组就好了 于是几乎不用加代码
当然离线之后树剖和Tarjan都行（树剖LCA代码好短啊）
顺便%一发某个Splay维护DFS序列的Dalao？
A组 10/7
T1：
题意 给出一个DAG，开头结尾外点数每层为k，可以将相邻两层之间的边翻过来交换连接，问使得最终路径条数为偶数的方案数 模某经典质数
题解 状压DP，因为只需考虑奇偶性，所以用01考虑k≤10所以直接压进去，另外记下当前搞的是从上往下第几个，然后考虑对一个状态把可产生的状态先用二进制打出来奇偶性，转移的时候直接做，然后用lowbit优化下转移（只转移为1的），先翻过来和不翻的都做一遍就好了

T2：
题意 给出n+1个集合（n是偶数），每个集合有2n个数，用一种神奇的方式给出每个数的存在性（64进制？？？），然后要求找到一对集合使得交大小不小于n2
(吐槽) 暴力出奇迹！暴力踩标程！（误）@Snakes用标程给的方法130+ms然后暴力1ms！
我是用bitset硬上的因为比较好写，然后现在还是最短代码 另外这题原本有一个”NO Solution”然而事实证明不存在这种情况（所以没用？）
题解 反正暴力可过，我们就只来解释下为何暴力可过吧 正解其实是随机n对判断……不过好像比较慢
我们先定义一个期望，为两两集合交大小的平均（就是随机选两个集合交的大小），同时还是按照二进制我们设一个ci，表示第i位上有几个是1，因为每个都是大小为n的子集，于是∑2ni=1ci=n(n+1)
然后我们发现对于其中第i位选的总数是C(n−1,2)=O(n2)，能够恰好交起来方案数C(ci,2)=O(c2i)，那么这里总的期望就是∑2ni=1C(ci,2)C(n−1,2)=O(∑2ni=1c2in2)。由均值不等式中Qn≥An，即

∑2ni=1c2in−−−−−−−√≥∑2ni=1cin=O(n)

两边平方之后再除就可以得到那个期望就是O(n)的了（实际上，猜一下由对称性都知道是等的时候取极值）
那么在这里期望就有O(n)个了，精确值应该是n−12，如果平均值到n，那就显然有满足条件的。由上面的推理我们已经得出不会没解了，所以这里需要大一个常数，如果要补上这个常数需要至少O(n)个集合之间有n2规模的交，也就是说，这样的对数不只有，还挺多的……
所以完全可以暴力做（暴力还挺快的）。
T3：
题意 在一棵树上选最少的点使得每个选定的点能在经过k条边后到达的所有点中选出一个大小为s的点集，使得所有点集的并集为整棵树的点
题解 强行贪心一波 我们会发现我们应该尽可能用完这k的长度，因为可以涉及到的点是最多的 同时我们应该选尽量深的点 因为选其他的不会更劣
然后我们设F(x,k)表示x下面距离为k的多余覆盖点的个数（就是子树里面选定的点往上还可以延伸的点的个数），G(x,k)表示x下面距离为k的还需要被覆盖的点的个数。接着我们先考虑用F(son(x),k−1)转移到F(x,k)（G一样），接着考虑下二者间的差距，F(x,k′)和G(x,k−k′)互相填一下，然后利用除以s的公式直接求好要多多少点，最后再把答案更新一下就好了
这样说好像不太清楚，不如看程序：http://paste.ubuntu.com/25692676/
剩下的先留着坑