GYM100526 Interesting Integers(扩展欧几里得)

搬运大佬的题解系列：http://blog.csdn.net/u010568270/article/details/52315019

题目链接：

　　http://codeforces.com/gym/100526

　　http://acm.hunnu.edu.cn/online/?action=problem&type=show&id=11672&courseid=0

题目大意：

　　给定任意一个N，(N<=10⁹)求斐波那契—卢卡斯数列的前两项A和B。(先满足B最小再满足A最小，A<=B)

　　斐波那契—卢卡斯数列是斐波那契数列的推广，斐波那契数列f[0]=0,f[1]=1，斐波那契—卢卡斯数列f[0]=A,f[1]=B。

　　二者均满足f[i]=f[i-1]+f[i-2],i>=2。

题目思路：

　　【数论】【扩展欧几里得】

　　首先如果数列S是斐波那契数列，则A*S，S+S也满足f[i]=f[i-1]+f[i-2]。

　　那么考虑A=1，B=0的斐波那契—卢卡斯数列S1，为第一个数对最终答案的影响。

　　同样，A=0，B=1的斐波那契—卢卡斯数列S2，为第二个数对最终答案的影响。

　　容易得到这两个数列是错位的斐波那契数列

　　S1=1,0,1,1,2,3,5...

　　S2=0,1,1,2,3,5,8...

　　S2[i]=S1[i+1].

　　而把S1*A+S2*B如果能含有N，则A B的最小解即为所求。

　　所以只需要求出斐波那契数列的前45项(10⁹内)，接下来就是枚举N是由斐波那契数列中哪两个相邻的数分别乘A和B得到的。

　　即A*f[i]+B*f[i-1]=N。可以对f[i],f[i-1]扩展欧几里得，求出对应的A和B，看看能否把X,Y调成满足题意得(0<B<=A)如果行则为答案。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define LL long long#define N 50LL extend_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){    if(a==0&&b==0) return -1;//无最大公约数    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    LL d=extend_gcd(b,a%b,y,x);    y-=a/b*x;    return d;}int fib[N]={1, 0};void init(){    for(int i=1; i<45; i++)        fib[i+1]=fib[i]+fib[i-1];}int main(){    init();    int T, n;scanf("%d", &T);    while(T--)    {        int k;        scanf("%d", &n);        for(k=45; k&fib[k]>n; k--);        if(fib[k]==n)        {            puts("1 1");            continue;        }        LL a, b, x, y;        for(int i=k; i>2; i--)        {            a=fib[i];b=fib[i-1];            extend_gcd(a, b, x, y);            x=x%b+b;            y=(1-a*x)/b;            x*=n;y*=n;            if(y<=0)            {                LL tmp=(a-1-y)/a;                y+=a*tmp;                x-=b*tmp;            }            while((x-b)>=(y+a)) x-=b, y+=a;            if(x<=0||y<=0||x<y) continue;            printf("%I64d %I64d\n", y, x);            break;        }    }    return 0;}