【XSY2332】Randomized Binary Search Tree 概率DP FFT

题目描述

　　∀0≤i<n，求有多少棵n个点，权值和优先级完全随机的treap的树高为i。

　　n≤30000

题解

　　设fi,j为j个点的树，树高不超过为i的概率

fi,j=1j∑k=1jfi−1,j−1×fi−1,j−k

　　枚举一个点左子树大小k−1，那么右子树大小为j−k。且这个点的优先级为这j个点最小的概率是1j

。这个东西是个卷积，可以用FFT加速。

　　其实期望树高是O(logn)的。实际上只有前面一部分的答案不为0。所以我们只用计算树高≤100的答案。

　　时间复杂度：O(nlog2n)

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<utility>#include<cmath>using namespace std;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef pair<int,int> pii;double pi=acos(-1);struct cp{    double x,y;    cp(double a=0,double b=0)    {        x=a;        y=b;    }};cp operator +(cp a,cp b){    return cp(a.x+b.x,a.y+b.y);}cp operator -(cp a,cp b){    return cp(a.x-b.x,a.y-b.y);}cp operator *(cp a,cp b){    return cp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}cp operator /(cp a,double b){    return cp(a.x/b,a.y/b);}namespace fft{    cp w1[100010];    cp w2[100010];    int rev[100010];    int n;    void init(int m)    {        n=1;        while(n<=m)            n<<=1;        int i;        for(i=2;i<=n;i<<=1)        {            w1[i]=cp(cos(2*pi/i),sin(2*pi/i));            w2[i]=cp(cos(2*pi/i),-sin(2*pi/i));        }        rev[0]=0;        for(i=1;i<n;i++)            rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);    }    void fft(cp *a,int t)    {        int i,j,k;        cp u,v,w,wn;        for(i=0;i<n;i++)            if(rev[i]<i)                swap(a[i],a[rev[i]]);        for(i=2;i<=n;i<<=1)        {            wn=(~t?w1[i]:w2[i]);            for(j=0;j<n;j+=i)            {                w=1;                for(k=j;k<j+i/2;k++)                {                    u=a[k];                    v=a[k+i/2]*w;                    a[k]=u+v;                    a[k+i/2]=u-v;                    w=w*wn;                }            }        }        if(t==-1)            for(i=0;i<n;i++)                a[i]=a[i]/n;    }}cp a[100010];double f[110][30010];double ans[30010];int main(){    freopen("b.in","r",stdin);    freopen("b.out","w",stdout);    int n;    scanf("%d",&n);    int m=100;    int i,j;    fft::init(2*n);    a[0]=a[1]=1;    double last;    for(i=0;i<n;i++)        ans[i]=0;    last=ans[0]=a[n].x;    for(i=1;i<=m;i++)    {        fft::fft(a,1);        for(j=0;j<fft::n;j++)            a[j]=a[j]*a[j];        fft::fft(a,-1);        for(j=fft::n-1;j>=1;j--)            a[j]=a[j-1];        a[0]=a[1]=1;        for(j=2;j<=n;j++)            a[j]=a[j]/j;        for(j=n+1;j<fft::n;j++)            a[j]=0;        ans[i]=a[n].x-last;        last=a[n].x;    }//  for(i=0;i<=m;i++)//      f[i][1]=f[i][0]=1;//  for(i=1;i<=m;i++)//      for(j=2;j<=n;j++)//          for(k=1;k<=j;k++)//              f[i][j]+=f[i-1][k-1]*f[i-1][j-k]/j;//  for(i=0;i<=m;i++)//  {//      ans[i]=f[i][n];//      if(i>=1)//          ans[i]-=f[i-1][n];//  }    for(i=0;i<=n-1;i++)        printf("%.10lf\n",ans[i]);    return 0;}