[组合 容斥] Project Euler 595 Incremental Random Sort

设 S(n) 表示 n 的随机排列的期望操作次数。显然有递推式：

S(n)=∑i=2nPn,i(S(i)+1),  S(n)=∑n−1i=2Pn,i(S(i)+1)+Pn,n1−Pn,n

其中 Pn,m 表示 n 的随机排列，合并成 m 个的概率。怎么求？考虑组成 m 个块有 (n−1m−1) 种，所以我们就需要求 g[i] 表示 i 的排列有几种满足完全不合并。则 Pn,m=(n−1m−1)∗g[m]n! 。
怎么求 g[n] 呢? 要任意相邻位置都满足不连续，可以用容斥。枚举至少有几个位置连续：

g[n]=∑i=0n−1(−1)j(n−1i)∗(n−i)!

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=2005,MOD=1e9+7;int n;LL S[maxn],fac[maxn],inv[maxn],fac_inv[maxn],p[maxn][maxn],g[maxn];LL C(int n,int m){ if(n<m) return 0; return fac[n]*fac_inv[n-m]%MOD*fac_inv[m]%MOD; }LL Pow(LL a,int b){    LL res=1; a=(a%MOD+MOD)%MOD;    for(;b;b>>=1,a=a*a%MOD) if(b&1) res=(res*a)%MOD;    return res;}int main(){    freopen("hhhoj29.in","r",stdin);    freopen("hhhoj29.out","w",stdout);    fac[0]=1; for(int i=1;i<=2000;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;    inv[1]=1; for(int i=2;i<=2000;i++) inv[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;    fac_inv[0]=1; for(int i=1;i<=2000;i++) fac_inv[i]=fac_inv[i-1]*inv[i]%MOD;    scanf("%d",&n);    for(int i=2;i<=n;i++)     for(int j=0;j<=i-1;j++) (g[i]+=C(i-1,j)*fac[i-j]*((j&1)?-1:1)%MOD)%=MOD;    for(int i=1;i<=n;i++)     for(int j=1;j<=n;j++) p[i][j]=C(i-1,j-1)*g[j]%MOD*fac_inv[i]%MOD;    S[1]=0;    for(int i=2;i<=n;i++){        LL res=p[i][i]; for(int j=2;j<=i-1;j++) (res+=(S[j]+1)*p[i][j]%MOD)%=MOD;        S[i]=res*Pow(1-p[i][i],MOD-2)%MOD;    }    printf("%d\n",(S[n]+MOD)%MOD);    return 0;}