详解斯坦纳点及斯坦纳树及模版归纳总结

①什么是斯坦纳点？

　　假设原来已经给定了个点，库朗等指出需要引进的点数至多为，此种点称为斯坦纳点。过每一斯坦纳点，至多有三条边通过。若为三条边，则它们两两交成120°角；若为两条边，则此斯坦纳点必为某一已给定的点，且此两条边交成的角必大于或等于120°。其中最小的网络称为已给定点的集合的最小斯坦纳树，记作SMT。若此SMT的斯坦纳点中有等于给定点的点，则称此SMT为退化的，此给定点称为退化点。

构造方法：

 

 

已知B，C，D，E可知B点为转轴线段BC绕B顺时针旋转60度得到正三角形，再以顶点F为转轴，FD构成的线段逆时针旋转得到新的正三角形顶点G，劣弧DF上任意一点都能和D，F构成三个，相同的，劣弧CB上的点也是。

故将第四点E与G相连接在劣弧上得到一个交点，再由交点与F连接交劣弧CB于一点，即构成了非退化情况下的两斯坦纳点，枚举得到斯坦纳最小生成树，当与顶点连线不与劣弧有交点时则为该种结构的退化点情况.

②什么是斯坦纳树？

       斯坦纳树问题是组合优化学科中的一个问题。将指定点集合中的所有点连通，且边权总和最小的生成树称为最小斯坦纳树（Minimal Steiner Tree），其实最小生成树是最小斯坦纳树的一种特殊情况。而斯坦纳树可以理解为使得指定集合中的点连通的树，但不一定最小。

③如何求解最小斯坦纳树？

      可以用DP求解，dp[i][state]表示以i为根，指定集合中的点的连通状态为state的生成树的最小总权值。

      转移方程有两重：

      第一重，先通过连通状态的子集进行转移。

      dp[i][state]=min{ dp[i][subset1]+dp[i][subset2] } 

      枚举子集的技巧可以用 for(sub=(state-1)&state;sub;sub=(sub-1)&state)。

      第二重，在当前枚举的连通状态下，对该连通状态进行松弛操作。

      dp[i][state]=min{ dp[i][state], dp[j][state]+e[i][j] }

      为什么只需对该连通状态进行松弛？因为更后面的连通状态会由先前的连通状态通过第一重转移得到，所以无需对别的连通状态松弛。松弛操作用SPFA即可。

      复杂度 O(n*3^k+cE*2^k)

      c为SPFA复杂度中的常数，E为边的数量，但几乎达不到全部边的数量，甚至非常小。3^k来自于子集的转移sum{C(i,n)*2^i} (1<=i<=n)，用二项式展开求一下和。

模版如下：

 1 /* 2  *  Steiner Tree：求，使得指定K个点连通的生成树的最小总权值 3  *  st[i] 表示顶点i的标记值，如果i是指定集合内第m(0<=m<K)个点，则st[i]=1<<m  4  *  endSt=1<<K 5  *  dptree[i][state] 表示以i为根，连通状态为state的生成树值 6  */ 7 #define CLR(x,a) memset(x,a,sizeof(x)) 8  9 int dptree[N][1<<K],st[N],endSt;10 bool vis[N][1<<K];11 queue<int> que;12 13 int input()14 {15    /*16     *    输入，并且返回指定集合元素个数K17     *    因为有时候元素个数需要通过输入数据处理出来，所以单独开个输入函数。18     */19 }20 21 void initSteinerTree()22 {23     CLR(dptree,-1);24     CLR(st,0);25     for(int i=1;i<=n;i++) CLR(vis[i],0);26     endSt=1<<input();27     for(int i=1;i<=n;i++)28         dptree[i][st[i]]=0;29 }30 31 void update(int &a,int x)32 {33     a=(a>x || a==-1)? x : a;34 }35 36 void SPFA(int state)37 {38     while(!que.empty()){39         int u=que.front();40         que.pop();41         vis[u][state]=false;42         for(int i=p[u];i!=-1;i=e[i].next){43             int v=e[i].vid;44             if(dptree[v][st[v]|state]==-1 || 45                 dptree[v][st[v]|state]>dptree[u][state]+e[i].w){46 47                 dptree[v][st[v]|state]=dptree[u][state]+e[i].w;48                 if(st[v]|state!=state || vis[v][state]) 49                     continue; //只更新当前连通状态50                 vis[v][state]=true;51                 que.push(v);52             }53         }54     }55 }56 57 void steinerTree()58 {59     for(int j=1;j<endSt;j++){60         for(int i=1;i<=n;i++){61             if(st[i] && (st[i]&j)==0) continue;62             for(int sub=(j-1)&j;sub;sub=(sub-1)&j){63                 int x=st[i]|sub,y=st[i]|(j-sub);64                 if(dptree[i][x]!=-1 && dptree[i][y]!=-1)65                     update(dptree[i][j],dptree[i][x]+dptree[i][y]);66             }67             if(dptree[i][j]!=-1) 68                 que.push(i),vis[i][j]=true;