小根堆优化Dijkstra算法

算法原理

每次扩展一个距离最小的点，再更新与其相邻的点的距离。

如何寻找距离最小的点

普通的Dijkstra算法的思路是直接For i: 1 to n

优化方案是建一个小根堆，小根堆里存储由当前结点更新距离的所有点，那么堆顶就是距离最小的点

如何寻找与源点相邻的点

当然是邻接表

具体实现

建一个小根堆heap[] ，用来存储结点的序号，用一个数组pos[i] 来存储第i个结点在堆中的位置，用一个标记数组in_heap[] 来记录结点是否在堆中，dis[i] 表示到第i个结点的最短距离

对于小根堆的操作还是基本的put() 和get() ，但由于有的结点已经在堆中了，所以可以把put() 拆为插入堆和调整位置两个部分

完整操作如下：

1.将与源点相邻的点进行松弛操作后加入堆

2.取出位于堆顶的结点

3.若取出的点为终点，则结束算法

4.将与当前结点相邻的点进行松弛操作

​ (1)如果该点已经在堆中，就调整在堆中的位置

​ (2)如果该点不在堆中，就加入堆

5.继续第二步

例题

最短路径问题

时间限制：1秒　内存限制：256兆

题目描述

平面上有n个点（n<=100）,每个点的坐标均在－10000～10000之间，其中的一些点之间有连线。若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点间的之间距离。现在的任务是找出一点到另一点之间的最短路径、

输入

输入共有n＋m＋3行，其中：
第一行为整数n
第2行到第n＋1行（共n行），每行两个整数x和y，描述了一个点的坐标（以一个空格分隔）
第n＋2行为一个整数m，表示图中连线的个数
此后的m行，每行描述一条连线，由两个整数i和j组成，表示第i个点和第j个点之间有连线
最后一行：两个整数s和t，分别表示源点和目标点

输出

输出仅一行，一个实数（保留两位小数），表示从s到t的最短路径长度

样例输入

5
0 0
2 0
2 2
0 2
3 1
5
1 2
1 3
1 4
2 5
3 5
1 5

样例输出

3.41

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#define MAXN 100+5struct Edge//邻接表{    int to;    double v;    Edge *next;};struct Node{    int x,y;}node[MAXN];int n,m,pos[MAXN],heap_size,s,t,heap[MAXN];double dis[MAXN];Edge *first[MAXN];bool in_heap[MAXN];void add_edge(int u,int v,double len){    Edge *temp=new Edge;    temp->to=v;    temp->v=len;    temp->next=first[u];    first[u]=temp;}void calc(int i,int j){    double len=sqrt(pow((double)(node[i].x-node[j].x),2)+pow((double)(node[i].y-node[j].y),2));    add_edge(i,j,len);    add_edge(j,i,len);}void swapp(int i,int j){    int temp=heap[i];    heap[i]=heap[j];    heap[j]=temp;    pos[heap[j]]=j;//调整指针    pos[heap[i]]=i;}void shift_up(int now)//调整位置{    int next=0;    while(now>1)    {        next=now>>1;        if(dis[heap[next]]>dis[heap[now]])            swapp(next,now);        now=next;    }}void put(int x)//插入堆{    in_heap[x]=true;    heap[++heap_size]=x;    pos[x]=heap_size;    shift_up(heap_size);}int get()//取堆顶元素{    int now=1,next,res=heap[1];    in_heap[heap[1]]=false;    heap[1]=heap[heap_size--];    pos[heap[1]]=1;    while(now*2<=heap_size)    {        next=now<<1;        if(next<heap_size&&dis[heap[next+1]]<dis[heap[next]])            ++next;        if(heap[now]<=heap[next])            return res;        swapp(now,next);        now=next;    }    return res;}void dijkstra(){    put(s);    dis[s]=0;    while(heap_size>0)    {        int top=get();        if(top==t)            break;        Edge *temp=first[top];        while(temp!=NULL)        {            if(dis[temp->to]>dis[top]+temp->v)            {                dis[temp->to]=dis[top]+temp->v;                //结点在堆中就只调整位置，否则插入堆并调整位置                if(in_heap[temp->to])                    shift_up(pos[temp->to]);                else                    put(temp->to);            }            temp=temp->next;        }    }}int main(){    int i,x,y;    scanf("%d",&n);    for(i=1;i<=n;++i)        scanf("%d%d",&node[i].x,&node[i].y);    scanf("%d",&m);    for(i=1;i<=m;++i)    {        scanf("%d%d",&x,&y);        calc(x,y);    }    scanf("%d%d",&s,&t);    memset(dis,127,sizeof(dis));    dijkstra();    printf("%.2lf\n",dis[t]);    return 0;}