[模板]最小生成树 prim算法

最小生成树的环属性——prim的算法原理

我们知道，对于一棵有n个节点的树，它会有n-1条边，只要任意连接两个节点，肯定会出现一个环。在环中删掉一条边后，又可以得到一棵树。我们可以发现：一棵生成树上，增加一条边e，再删除e所在环上的最大边，会得到另一棵“更小”的生成树(如果e不是最大边)。

实现手段：剪切属性

在图中，剪切将顶点划分成两个不相交集合。交叉边为这些顶点在两个不同集合的边。对于任何一个剪切，各条最小的交叉边都属于某个最小生成树，且每个最小生成树中都包含一条最小交叉边。

最小边原则

：图中权值最小的边(如果唯一的话)一定在最小生成树上。

唯一性

：一棵生成树上，如果各边的权都不相同，则最小生成树是唯一的。反之不然。

算法描述

MST_Prim(G, r)
(1)将G剪切成两个集合A、B，A中只有一个点r
(2)取最小权的交叉边(x,y)，x∈A, y∈B
(3)将y加入A
(4)如果已经加了n-1条边，结束。否则，转 (3)

代码

#include<bits/stdc++.h>#define INF 100000000using namespace std;inline int read(){    int num=0;    char c=getchar();    for(;c>'9'||c<'0';c=getchar());    for(;c>='0'&&c<='9';num=num*10+c-48,c=getchar());    return num;}//快读int n,m,dis[5001],a[5001][5001],vis[5001];//dis标记最短距离，vis数组标记是否被int main(){    n=read();    m=read();    memset(a,10,sizeof(a));    memset(vis,0,sizeof(vis));    memset(dis,10,sizeof(dis));//dis    for(int i=1;i<=m;i++)    {        int x,y,len;        x=read();        y=read();        len=read();        a[x][y]=a[y][x]=min(len,a[x][y]);    }    for(int i=1;i<=n;i++)    dis[i]=a[1][i];//初始化dis数组    vis[1]=1;    dis[1]=0;    int sum=0;    for(int i=2;i<=n;i++)    {        int minn=a[0][0],c=0;        for(int j=1;j<=n;j++)//寻找最小交叉边        if((!vis[j])&&(dis[j]<minn))//如果没有在两个集合里面，而且边比标记边更小        {            minn=dis[j];            c=j;//用这条边        }        vis[c]=1;        sum+=minn;//sum代表生成树边权值和；        for(int j=1;j<=n;j++)        if((a[c][j]<dis[j])&&(!vis[j]))        dis[j]=a[c][j];//跟迪杰斯特拉的三角形迭代很像    }    printf("%d\n",sum);    return 0;}