【图论】有向无环图的拓扑排序

1. 引言

有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）是有向图的一种，字面意思的理解就是图中没有环。常常被用来表示事件之间的驱动依赖关系，管理任务之间的调度。拓扑排序是对DAG的顶点进行排序，使得对每一条有向边(u, v)，均有u（在排序记录中）比v先出现。亦可理解为对某点v而言，只有当v的所有源点均出现了，v才能出现。

下图给出有向无环图的拓扑排序：

下图给出的顶点排序不是拓扑排序，因为顶点D的邻接点E比其先出现：

2. 算法原理与实现

拓扑排序的实现算法有两种：入度表、DFS，其时间复杂度均为O(V+E)。

入度表

对于DAG的拓扑排序，显而易见的办法：

• 找出图中0入度的顶点；
• 依次在图中删除这些顶点，删除后再找出0入度的顶点；
• 然后再删除……再找出……
• 直至删除所有顶点，即完成拓扑排序

为了保存0入度的顶点，我们采用数据结构栈（亦可用队列）；算法的可视化可参看这里。

图用邻接表（adjacency list）表示，用数组inDegreeArray[]记录结点的入度变化情况。C实现：

// get in-degree arrayint *getInDegree(Graph *g) {    int *inDegreeArray = (int *) malloc(g->V * sizeof(int));    memset(inDegreeArray, 0, g->V * sizeof(int));    int i;    AdjListNode *pCrawl;    for(i = 0; i < g->V; i++) {        pCrawl = g->array[i].head;        while(pCrawl) {            inDegreeArray[pCrawl->dest]++;            pCrawl = pCrawl->next;        }    }    return inDegreeArray;}// topological sort functionvoid topologicalSort(Graph *g) {    int *inDegreeArray = getInDegree(g);    Stack *zeroInDegree = initStack();    int i;    for(i = 0; i < g->V; i++) {        if(inDegreeArray[i] == 0)            push(i, zeroInDegree);    }    printf("topological sorted order\n");    AdjListNode *pCrawl;    while(!isEmpty(zeroInDegree)) {        i = pop(zeroInDegree);        printf("vertex %d\n", i);        pCrawl = g->array[i].head;        while(pCrawl) {            inDegreeArray[pCrawl->dest]--;            if(inDegreeArray[pCrawl->dest] == 0)                push(pCrawl->dest, zeroInDegree);            pCrawl = pCrawl->next;        }    }}

时间复杂度：得到inDegreeArray[]数组的复杂度为O(V+E)；顶点进栈出栈，其复杂度为O(V)；删除顶点后将邻接点的入度减1，其复杂度为O(E)；整个算法的复杂度为O(V+E)。

DFS

在DFS中，依次打印所遍历到的顶点；而在拓扑排序时，顶点必须比其邻接点先出现。在下图中，顶点5比顶点0先出现，顶点4比顶点1先出现。

在DFS实现拓扑排序时，用栈来保存拓扑排序的顶点序列；并且保证在某顶点入栈前，其所有邻接点已入栈。DFS版拓扑排序的可视化参看这里。

C实现：

/* recursive DFS function to traverse the graph,* the graph is represented by adjacency list*/void dfs(int u, Graph *g, int *visit, Stack *s) {   visit[u] = 1;   AdjListNode *pCrawl = g->array[u].head;   while(pCrawl) {       if(!visit[pCrawl->dest])           dfs(pCrawl->dest, g, visit, s);       pCrawl = pCrawl->next;   }   push(u, s);}// the topological sort functionvoid topologicalSort(Graph *g) {   int *visit = (int *) malloc(g->V * sizeof(int));   memset(visit, 0, g->V * sizeof(int));   Stack *s = initStack();   int i;   for(i = 0; i < g->V; i++) {       if(!visit[i]) dfs(i, g, visit, s);   }   // the order of stack element is the sorted order   while(!isEmpty(s)) {       printf("vertex %d\n", pop(s));   }}

时间复杂度：应与DFS相同，为O(V+E)。

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完整代码在Github。

3. 参考资料

[1] R. Rao, Lecture 20: Topo-Sort and Dijkstra’s Greedy Idea.
[2] GeeksforGeeks, Topological Sorting.
[3] GeeksforGeeks, Graph and its representations.