Hankson 的趣味题——唯一分解定律

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题目来源

洛谷P1072

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题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 x 满足：

1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：
第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

输出格式：
输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；
若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

输入输出样例

输入样例#1：
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
输出样例#1：
6
2

说明

第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

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解题报告

首先我们考虑 最大公因数 和 最小公倍数 的 分解质因数 求法：

对于 a 和 b ，我们将其分解质因数。

如果对于每一个底数，我们均取对应最小的指数，那么得到的结果就是这两个数的最大公因数。

如果对于每一个底数，我们均取对应最大的指数，那么得到的结果就是这两个数的最小公倍数。

从 最大公因数 和 最小公倍数 的 分解质因数 求法中我们可以推导出，如果两个数 a 和 b ，他们的最大公因数是 c 。将 a ， b ， c 均分解质因数，可知如果第 i 个 质因子 在 b 和 c 分解质因数后得到的指数不同，那么 a 在分解质因数后 第 i 个 质因子 的指数一定与 c 分解质因数后对应位置的指数相同。如果 第 i 个质因子 在 b 和 c 分解质因数后得到的指数相同，那么 a 在分解质因数后对应位置的指数一定大于等于该值。

同理我们也可以推出最小公倍数中的对应关系，在这里不再赘述。

那么现在我们的目标就是求出各个数对应的质因数分解，但是我们发现 a0, a1, b0, b1 的范围在 2,000,000,000 以内，很明显我们无法直接求出 2,000,000,000 以内的所有质数。但是我们可以求出 √(2,000,000,000) 以内的所有质数，他们的最大值一定小于 45000。

如果我们需要分解一个大于等于 45000 的数字，我们首先需要通过 45000 以内的所有质数对其分解，当所有 45000 以内的质数对其分解结束之后，剩余的数一定是一个大质数。这是因为如果剩余的数是一个合数，那么这个合数一定可以进行质因数分解，由于最小的质数是 2， 所以如果存在这个合数那么 这个合数一定可以通过 45000 以内的质数进行质因数分解，但是我们已经将所有 45000 以内的质数对其进行分解了，这说明剩余的数一定不是一个合数，那就是一个大质数了，因此我们只需要再将这个数加入到预先处理处的素数表的末尾，并将其对应的指数记为 1 即可。

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源代码

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>using namespace std;long long a, b, c, d;int A[45005], B[45005], C[45005], D[45005];// a b c d 对应的质因数分解int prime[100001], size;bool notPrime[100001];int analyse (int * map, long long num) { // 将 num 进行质因数分解    for (int i = 1; i <= size && num > 1; i++) { // 使用 45000 以内的质数对其进行分解        while (num % prime[i] == 0) {            map[i]++;            num /= prime[i];        }    }    if (num > 1) { // 如果剩余的数大于 1 ，那么这个数也一定是一个质数        prime[++size] = num;        map[size] = 1;        return 1;    }    return 0;} void init() { // 预处理出 45000 以内的所有质数    for (int i = 2; i <= 50000; i++) {        if (!notPrime[i])            prime[++size] = i;        for (int j = 1; j <= size && prime[j] * i <= 50000; j++) {            notPrime[prime[j] * i] = true;            if (i % prime[j] == 0)                break;        }    }}void solve() {    int tot = 0;    scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &d);    if(b > a || d < c)  {        printf("0\n");        return;    }    long long ans = 1;    memset(A, 0, sizeof(A));    memset(B, 0, sizeof(B));    memset(C, 0, sizeof(C));    memset(D, 0, sizeof(D));    //将a b c d 分别进行质因数分解，并统计新添加的质数的个数    tot += analyse(B, b);    tot += analyse(A, a);    tot += analyse(C, c);    tot += analyse(D, d);    for (int i = 1; i <= size; i++) {        bool flag = false;        if (D[i] == C[i] && A[i] == B[i])            ans *= (D[i] - B[i] + 1);        if (A[i] != B[i])//若A[i] != B[i] 那么结果的第i位一定与B[i]            if (D[i] != C[i]) // 判断是否可以取到 B[i]                flag = D[i] != B[i];            if (D[i] == C[i])                flag = B[i] > D[i];        if (C[i] != D[i])//若C[i] != D[i] 那么结果的第 i 位一定与D[i] 相等            if (A[i] != B[i])                flag = D[i] != B[i];            if (A[i] == B[i])                flag = D[i] < B[i];        if (flag) { //判断此组数据是否有解            printf("0\n");            return;        }    }    printf("%lld\n", ans);    size -= tot;//将预先处理处的大质数移去}int main() {    freopen("in.txt", "r", stdin);    freopen("out.txt", "w", stdout);    init(); //预处理 45000 以内的所有质数    int n;    scanf("%d", &n);    while (n--)        solve();    return 0;}