欧拉回路 欧拉路径某些问题集合

后续会给出一些代码

问题一：

n个点，m个双向边，无重边，可能有自环，一条航线需要满足以下要求：从任意一个点出发，在任意一个点结束，经过m-2条边恰好2次，经过2条边恰好1次。求有多少本质不同的航线，两航线本质不同当且仅当存在1条边，在两航线中经过次数不同。

N ≤ 1e5 , M ≤ 1e5.

首先这道题要判连通图，这个没问题

然后这道题因为是无向图，而且可以有自环，所以我们的DP不是很好搞，于是我们思考欧拉路径，现在把所有的双向边全部倍增，一条边变成两条边，那么现在显然要让其在任意一个点出发，任意一个点结束，经过m-2条边恰好两次，经过2条边恰好一次就变成了求新图中删去某两条边的欧拉路径有多少条

于是我们考虑删边，因为我们倍增了，所以新图中所有点的度数均为偶数，那么对于一个自环来说，我们删去这条边，则这个点的度数仍然是偶数，对于一个不是自环的边来说，我们删去这条边之后，u的度数减1，v的度数减1

回顾欧拉路径存在的充要条件是：连通图并且奇数出度的点的数量是0个或者2个

则我们删两条边之后保证还存在欧拉路径的情况就是

删掉一个自环，再删掉一个自环 ： C（2， 自环数）

删掉一个自环，删掉任意一条非自环边：自环边数*其他边数

删掉一条非自环边，删掉一条非自环边：C（2，非自环边数）

最后加法原理加起来就可以了

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问题二：

Codeforces 547 D

题目大意：给定平面上的n个点，要求将每个点染成红色/蓝色，使得每行/每列的红色点数和蓝色点数之差 < = 1

保证所有数据都在2e5范围内。输出方案，保证有解。

Tag：二分图 & 欧拉回路

这题感觉好毒啊，今天讲到欧拉回路才知道怎么搞

我们可以对于这个坐标建立二分图，x坐标为二分图左边一侧，y坐标为二分图右边一侧，则我们如果存在一个点，就把二分图中左边的这个X坐标连上右边的这个Y坐标，然后对于所有奇数度数的点，我们把他们互相连接，得到一个存在欧拉回路的图，然后我们跑一边欧拉回路的fluery算法然后染色就可以了

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问题三：

混合图的欧拉路径&回路

因为有向图有欧拉回路的条件是：1、联通。2、所有点入度等于出度。
对于混合图，我们对无向边任意定向，如果入度和出度加起来为奇数那么肯定不存在欧拉回路，所以定完向后，出度-入度为偶数。
任意定向后我们考虑将一条从u到v的边反向会导致u出度-1，入度+1；v出度+1，入度-1。这就很棒棒了。我们把出度大于入度的点归为一类，出度小于入度的归为一类，建边跑网络流就ok了。
只建定向的无向边，容量为1，方向一样。
S到出度大于入度的容量为(出度-入度/2)。
网络流判断是否满流。

裸题：hdu3472

BZOJ2095

给出一个n个点m条边的无向图，每个边有一正一反两个权值；现要从点1出发，对每条边经过且仅经过一次；求一种方案使经过的最大权值最小；

二分答案加混合图求欧拉回路转网络流

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问题四：

一条单向的铁路线上，依次有编号为 1, 2, …, n 的 n 个火车站。每个火车站都有一个级别，最低为 1 级。现有若干趟车次在这条线路上行驶，每一趟都满足如下要求：如果这趟车次停靠了火车站 x，则始发站、终点站之间所有级别大于等于火车站 x 的都必须停靠。（注意：起始站和终点站自然也算作事先已知需要停靠的站点）
例如，下表是 5 趟车次的运行情况。其中，前 4 趟车次均满足要求，而第 5 趟车次由于停靠了 3 号火车站（2 级）却未停靠途经的 6号火车站（亦为 2 级）而不满足要求。
现有 m 趟车次的运行情况（全部满足要求） ，试推算这 n 个火车站至少分为几个不同的级别。

车站分级 NOIP 2013年普及组

这题十分地暴力，对于一次读入，我们把所有没有读入的连均连上所有读入的点，然后跑一边拓扑排序求最长链即可

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问题四：

给定n,a,b要求输出一组长度为n的序列，满足要求：任意连续a个数字和大于0，任意连续b个数字和小于0。

这题我们把其想象成一个前缀和形式，则点i表示从1到点i的前缀和，然后从小的向大的连边，类似于查分约束，然后拓扑搞一下，从入度为0的点开始，这些点标为1，表示是第一层的，他们最小，所以他们的sum就是1，然后不断地拓扑排序，最后sumi-sumi-1就是我们的i的答案，因为这道题是spj，所以只需要输出一组正确解就可以了

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问题五：

BZOJ 4562

现在给你n个物种和m条能量流动关系，求其中的食物链条数。
物种从1到n编号
M条能量流动关系形如
a1->b1
a2->b2
a3->b3
……
am->bm
其中ai->bi表示能量从物种ai流向物种bi,注意单独的一种生物不算一条食物链

求食物链条数。

因为有先后顺序，并且不存在环，因此有拓扑关系，所以我们拓扑，在拓扑的过程中我们dp一下看一下转移能有几种方法就可以了

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还会有后续哦~