最长上升子序列LIS

定义

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS），在计算机科学上是指一个序列中最长的单调递增的子序列。

求解方法

求LIS一般有两种方法

O(n2)算法

f[i]表示以当前为序列的最后一位时所能达到的最LIS。

则有如下递推式：

f[i]=max(f[j]+1)(a[j]<a[i])。

因为每个数都要从头扫一遍，因此时间复杂度为O(n2)。

伪代码（a[i]存的是值）：

ans=0; memset(f,0,sizeof(f)); f[1]=1;for (int i=1;i<=n;i++){    for (int j=1;j<i;j++)        if (a[i]>a[j])//一定要满足这个条件             ans=max(ans,f[i]=max(f[i],f[j]+1));    ans=max(ans,f[i]=max(f[i],1));}printf("%d\n",ans);return 0;

O(nlog2n)算法

g[i]表示LIS长度为i时a[i]的最小值。

因为相同LIS的情况下，值越小更新的可能性越大。因此要存最小值。

对于枚举到的数a[i]，如果当前值比g[t]还大(t为目前已知LIS)，那么直接放入g[++t]中，否则二分查找更新的位置。时间复杂度O(nlog2n)。

伪代码：

int srch(int v,int l,int r){//二分查找    while (l<=r){        int mid=(l+r)/2;        if (v>g[mid]) l=mid+1;        else r=mid-1;    }    return l;}······g[1]=a[1]; t=1;for (int i=2;i<=n;i++)    if (a[i]>g[t])    g[++t]=a[i];    else g[srch(a[i],1,t,true)]=a[i];printf("%d\n",t)