矩阵学习

矩阵学习

矩阵的秩

• 若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r

矩阵的迹

• 在线性代数中，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。

矩阵的逆

• 设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1

• 性质：

  1. 可逆矩阵一定是方阵。
  2. （唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
  3. A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。
  4. 可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）
  5. 若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
  6. 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
  7. 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

伴随矩阵

• 设 D 是一个n阶行列式,aij （i、j 为下角标）是D中第i行第j列上的元素.在D中
  把aij所在的第i行和第j列划去后,剩下的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 的“余子式”,记作 Mij.把 Aij = (-1)^(i+j) *Mij 称作元素 aij 的“代数余子式”.（符号 ^ 表示乘方运算）
  首先求出 各代数余子式
  A11 = (-1)^2 * (a22 * a33 - a23 * a32) = a22 * a33 - a23 * a32
  A12 = (-1)^3 * (a21 * a33 - a23 * a31) = -a21 * a33 + a23 * a31
  A13 = (-1)^4 * (a21 * a32 - a22 * a31) = a21 * a32 - a22 * a31
  A21 = (-1)^3 * (a12 * a33 - a13 * a32) = -a12 * a33 + a13 * a32
  ……
  A33 = (-1)^6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21
  然后伴随矩阵就是
  A11 A21 A31
  A12 A22 A32
  A13 A23 A33

特征值

• 特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。