网络流（多样的建模）

yhzq的总结是非常好的：
网络流总结

然而博主也不是一个只会复制链接的人，还是要有一点自己的感悟的

网络流问题最重要的就是建模和模型转换，下面就给出一些

经典模型

一、最大流

多源多汇问题

源有多个，汇也有多个，流可以从任意源流出，最终可以流向任意汇，
总流量等于所有源流出的总流量（所有汇流入的总流量）

解：加一个超级源点S，和超级汇点T，
从S向每一个源点引一条有向弧，容量为INF，每个汇点向T引一条有向弧，容量为INF

结点容量

每个结点都有一个允许通过的最大流量

解：把每个结点分裂成两个 x1,x2，中间连一条弧，容量等于x的结点容量

无源无汇有容量下界网络的可行流

不仅无源无汇，而且每条流量既有上界c又有下界b，所有结点都应满足“入流=出流”

解：由于我们只需要求出可行解即可，
可以增加超级源点S，和超级汇点T，
然后对弧进行改造：首先添加弧T—>S并设容量为无穷大，
然后把每条下界为b的弧拆成3条（如图1），然后合并（如图2）

用改造后的图求最大流即可
当且仅当所有附加弧满流的时候原网络有可行流

有容量下界网络的s-t最大/最小流

容量同时有上下界，且有源点和汇点各一个，求s到t的最大最小流

解：先用上题的解法求出可行流，

• 用传统的增广路方法即可得到s-t最大流
• 把t看做源点，s看做汇点，求出的t-s最大流就是s-t最小流

注意

原先每条弧的反向弧u—>v的反向弧容量为0，
而在有容量下界的时候，反向弧的容量应该为容量下界

二、费用流

费用与流量的平方成正比的最大流

容量c均为整数，并且每条弧还有一个费用系数，
表示该弧的流量为x时，费用为ax^2

解：拆边法，一个费用系数为a，容量为5的边被拆成容量为1，费用各异的5条边

因为求的是最小费用，所以如果这条弧的流量是1，走的肯定是cost=1这条边
流量为2时，走的是cost=1和cost=3这两条边
不管流量是1,2,3,4,5中的哪一个，左右两个图都是等价的
所以原问题就变成了最小费用最大流

流量不确定的s-t最小费用图

网络中的费用有正有负，而且流量不固定

• 如果费用都是正的，最小费用显然就是0流
• 如果费用有正有负，那么一开始增广的时候，费用会逐渐变小，
  但是随着增广的进行，增广路权值会逐渐增大，最后变成正数，此时应该停止增广
  换句话说，费用随着增广，先下降，后上升，呈一下凸函数
  一般来说，下凸函数的最优解应该使用三分
  但是我们大可不必这么麻烦：
  只需在最短增广路费用为正的时候停止增广就好了

典型例题

1 . 二分图带权最大独立集

给出一个二分图，每个结点上都有一个正权值，要求选出一些点，使得这些点之间没有连边，且权值和最大

解：这道题我们需要用到最小割等于最大流的想法
割掉一条边表示我们舍弃ta的贡献
最后答案就是权值和-最大流（最小割）

2 . 公平分配问题

有m个任务，分配给n个处理器，其中每个任务有两个候选处理器，可以任选一个分配，
要求所有处理器中，分配任务最多的处理器分配的任务尽量少

解：又有最大值最小这样的字眼，我们就要二分答案了
对于一个二分出来的x，我们建图：
二分图，X部是任务，Y部是处理器，源点向每个任务连容量为1的边
任务和处理器之间相应连边，处理器向汇点连容量为X的边
只有最大流跑出的答案是m，X才合法
这样我们只需要O（logm）次最大流就可以解决这个问题了

3 . 区间k覆盖问题

数轴上有一些带权值的左闭右开的区间，选出权值和最大的一些区间，使得任意一个数被覆盖的次数不超过k

解：本题可以用最小费用流解决
构图方式：把每个数看做是一个结点，对于权值为w的区间[u,v)加边u—>v，容量为1，费用是-w
再对所有相邻结点连边i—>j，容量是k，费用是0
最后求最左点到最右点的最小费用最大流就可以了
其中每一个流量对应对应一组互不相交的区间
如果数值范围太大，可以离散化一下

4 . 最大闭合子图

给定带权图G（权值可正可负），求一个权值最大的子图，使得起点在该点集中，终点也在该点集中

解：新建一个源点和汇点，从源点向所有正权点连一条边，容量为权值
从所有的负权点向汇点连一条边，容量为权值的相反数
求出最小割（最大流），S-{s}就是最大闭合子图

这么说好像不大明白：
首先有一个有向连通图，每个点带有一个权值，例如：

此时，构建一个超级源点s，一个超级汇点t，所有的点按权值的正负连接到s和t上，转换成一个边权值有向图，如下图：

注：点权为0的点可以忽略，对结果没有影响

这时，可以得到结论：

① 该带边权有向图的关于s-t最小割，是简单割

　　简单割：割集中所有的边，都与s或t相连接
　　显然的，因为不与s,t相连的边，权值都是INF，最小割不可能割在INF的边上

② 最小割将整个网络分成两个点集合（一个是S能到的，一个是能到T的）

③ S所在的集合（除去S）即为最大权闭合子图

　　
　　　　　　　　
简单的证明

最后，我们就有了求解这类问题的完整思路：

①先记录整个图中，所有正点权值的和；
②建立对应流网络，求最大流，最大流在数值上等于最小割，故我们得到了流网络的s-t最小割；
③“所有正点权值的和”减去“s-t最小割”，即得最大权闭合子图的权值和。