Desert King POJ

题意：
在这么一个图中求一棵生成树,这棵树的单位长度的花费最小是多少？
思路
题目可以写成如下公式：其中E指的是 生成树中的边

R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])

我们先定义一个函数F(L):=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])，显然这只是对目标式的一个简单的变形。分离参数，得到F(L):=sigma((a[i]-L*b[i])*x[i])。这时我们就会发现，如果L已知的话，a[i]-L*b[i]就是已知的，当然x[i]是未知的。记d[i]=a[i]-L*b[i]，那么F(L):=sigma(d[i]*x[i])

L就是目标式中的R，最大化R也就是最大化L。

F(L)=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])>0即sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])>L也就是说，如果一个方案使得F(L)>0说明了这组方案可以得到一个比现在的L更优的一个L，既然有一个更优的解，那么为什么不用呢？

显然，d数组是随着L的增大而单调减的。也就是说，存在一个临界的L使得不存在一种方案，能够使F(L)>0. 当F(L)=0使，对应方案的R值恰好等于此时的L值。

可以用二分 ：

求01分数规划的另一个方法就是Dinkelbach算法
它本质上是观察直线
R=cx’-Ldx’
于函数F(L)在L=L’处相切，这里x’是子问题Q(L’)的最优解。因此，-dx’是F(L)在L’处的斜率。而且很容易看出上面的直线与L轴相交与L=cx’/dx’.

Dinkelbach算法：
步骤1：设L=L1,使 L*<=L1<=nC
步骤2：解决子问题Q(L)并得到最优解x
步骤3：如果z(L)=0，那么输出x并终止。否则，设L=cx/dx跳到步骤2
为了初始化L1,将用到nC，因此充分挖掘拓展问题的结构将能做出更好的选择。

二分代码

/* * Author       :  Echo * Email        :  [e-mail]   * Description  :    * Created Time :  2017/10/10 19:25:26 * Last Modify  :  2017/10/12 20:11:14 * File Name    :  \yanga11ang\write.cpp */#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <string>#include <queue>using namespace std;const int maxn=1100;const double INF=1e9;struct node{    double x,y,h;}an[maxn];double cx[maxn][maxn];double dx[maxn][maxn];double mp[maxn][maxn];bool vis[maxn];double dis[maxn];int n;double _abs(double a){    return a>=0 ? a:-a;}double prim(){//普利姆算法 最短路    for(int i=1;i<=n;i++)         dis[i]=mp[1][i],vis[i]=0;    vis[1]=1;    double res=0;    for(int i=1;i<n;i++){        double minnum=INF;        int u;        for(int j=2;j<=n;j++){            if(vis[j])continue;            if(minnum>dis[j]){                minnum=dis[j];                u=j;            }        }        res+=dis[u];        vis[u]=1;        for(int j=2;j<=n;j++){            if(vis[j])continue;            if(mp[u][j]<dis[j]){                dis[j]=mp[u][j];            }        }    }    return res;}double dist(node &a,node &b){    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)); }int main(){    while(scanf("%d",&n),n){        for(int i=1;i<=n;i++){            scanf("%lf%lf%lf",&an[i].x,&an[i].y,&an[i].h);        }        double l=1e-9,r=1e9,mid;        for(int i=1;i<n;i++)            for(int j=i+1;j<=n;j++){                cx[i][j]=cx[j][i]= _abs(an[i].h-an[j].h);                dx[i][j]=dx[j][i]=dist(an[i],an[j]);            }        while(r-l>1e-4){            mid=(l+r)/2;            for(int i=1;i<n;i++)                for(int j=i+1;j<=n;j++)                    mp[i][j]=mp[j][i]=cx[i][j]-mid*dx[i][j];            if(prim()<0) r=mid;            else l=mid;        }        printf("%.3f\n",l);    }    return 0;}/*40 0 00 1 11 1 21 0 31.000 */