半数集问题（转）

一、问题描述
给定一个自然数n，由n开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下：
(1) n ∈set(n)；
(2) 在n的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；
(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。
例如：set(8)={8，18，28，38，48，128，138，148，248，1248}，则半数集set(8)中共有10个元素。

二、编程任务
对于给定的自然数n，编程计算半数集set(n)中的元素个数。

三、编程实现——递归法
3.1、递归过程分析
通过分析所描述问题的特点可知，半数集set(n)中元素个数的求解是个递归的过程。设set(n)中的元素个数为f(n)，则显然有递归表达式：
f(n)=1+∑f(i)，i=1,2……n/2
据此，可很容易设计出求f(n)的递归算法如下：

int comp(int n)      {     int ans=1；       if(n>1)              for(int i=1；i<=n/2；i++)                     ans+=comp(i)；       return ans；}

对于此递归过程，是存在有缺陷的，即有很多的重复子问题计算。比如说：当n=4时，f(4)=1+f(1)+f(2)，而f(2)=1+f(1)，因此，在计算f(2)的时候又要重复计算一次f(1)。更进一步，当n较大时，类似的重复子问题计算将会变得非常多。
3.2、改进的递归算法
可以对如上的递归算法进行改进，用数组来存储已计算过的子问题结果，就可以避免重复，提高算法效率。改进的递归算法如下：

int comp(int n){     int ans=1；       if(a[n]>0)              //避免重复计算的判断语句（在主函数中将数组a的元素全部初始化为0）              return a[n]；       for(int i=1;i<=n/2;i++)              ans+=comp(i)；       a[n]=ans；       return ans；}

四、半数单集问题
4.1、概念说明
半数单集类似半数集，区别在于：半数集是多重集，而半数单集不是多重集，即集合中已有的元素不再添加到集合中。
例如：n=24，那么半数集set(24)中的元素1224就有如下两种方式可以生成：
24 → 1224
24 →224 → 1224
所以，1224就是一个被重复计算的元素。
4.2、如何剔除重复元素
笔者只考虑了n≤200的情况。
在n≤200时，n/2≤100，也就是说，此时可能产生重复的元素是2位数。一个两位数x产生重复的条件是：其个位上的数y=x的半数集中已产生x，即
x/10 ≤y/2 或 2(x/10) ≤x
例如n=24时，x=24/2=12，y=12=2即：2的半数集中已产生12。
因此，在三中的算法里加入剔除重复元素的语句即可实现重复元素的剔除。剔除重复元素的递归算法如下：

int comp(int n){     int ans=1；       if(a[n]>0)              return a[n]；       for(int i=1;i<=n/2;i++)       {                  ans+=comp(i)；              if((i>10)&&(2*(i/10)<=i))     //剔除重复元素的判断语句                     ans-=a[i/10]；                  }       a[n]=ans；       return ans；}

五、小结
使用递归算法求解问题时，首先需要得出所求问题的递归方程，递归方程需要有一个初始值，这个初始值也称为边界条件。递归方程是自然数上的一个函数T(n)，它使用一个或多个小于n时的值的不等式来描述。递归方程通常有三种方法可以计算：迭代方法，替换方法和主方法。

附：求解半数集set(n)中元素个数的基本程序

   此程序只是求半数集set(n)中元素个数的一个基本示例，半数单集的程序可在此上适当改动得来。由于图片不好上传，因而没有给出测试结果，读者可以在此基本程序上自行测试，也可对程序做适当改动以满足不同输出要求。

////  main.cpp//  demo2////  Created by chy on 2017/10/12.//  Copyright © 2017年 chy. All rights reserved.//#include <iostream>using namespace std;int a[1001];int comp(int n){    int ans=1;    if(a[n]>0)        return a[n];    for(int i=1;i<=n/2;i++)        ans+=comp(i);    a[n]=ans;    return ans;}int main(){    int n;    cin>>n;    for(int i=0;i<=n;i++)        a[i]=0;    a[1]=1;    cout<<comp(n)<<endl;    return 0;}