[线性代数]矩阵

矩阵的概念

矩阵的概念

1. 由m×n个数aij(i=1,2,...,n;j=1,2,...,n)排成的m行n列的数表
   ⎛⎝⎜⎜⎜a11a21...am1a12a22am2.........a1na2namn⎞⎠⎟⎟⎟，
   称其为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵。矩阵通常用A,B,C等来表示，记为A=(aij)m×n或Am×n，其中aij为第i行第j列交叉位置上的元素
2. 元素aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)都为实数的矩阵称为实矩阵；元素aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)中有复数的矩阵称为复矩阵；元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n零矩阵记作Om×n
3. 在矩阵Am×n中，当m=1时，称为行矩阵；当n=1时，称为列矩阵；当m=n时，称为n阶方阵，简记为An
4. 若矩阵A,B的行数相同，列数也相同，则称A,B为同型矩阵，设矩阵A,B是同型矩阵，如果对一切i,j，都有aij=bij，则称矩阵A,B相等，记作A=B

几种特殊的矩阵

1. 对角矩阵：称方阵
   ⎛⎝⎜⎜⎜a10...00a20.........00an⎞⎠⎟⎟⎟，
   为对角矩阵，记为Λ或diag(a1,a2,...,an)。其特点是：除从左上角到右下角（称为主对角线）上的元素以外，其余元素都为零（对角线上元素不全为零）
2. 数量矩阵：若对角矩阵的主对角线上的元素全为非零常数k，即
   ⎛⎝⎜⎜⎜k0...00k0.........00k⎞⎠⎟⎟⎟n×n，
   则称该矩阵为数量矩阵（或标量矩阵），记为kE
3. 单位矩阵：若对角矩阵的主对角线上的元素全为1，即
   ⎛⎝⎜⎜⎜10...0010.........001⎞⎠⎟⎟⎟n×n，
   称其为n阶单位矩阵，记为En或E
4. 三角阵，主对角线上（下）方元素全为0的方阵，称为下（上）三角阵，如
   A=⎛⎝⎜⎜⎜a11a21...an10a22an2.........00ann⎞⎠⎟⎟⎟，B=⎛⎝⎜⎜⎜a110...0a12a220.........a1na2nann⎞⎠⎟⎟⎟，
   矩阵A为下三角阵，B为上三角阵

矩阵的运算

矩阵的线性运算

1. 设矩阵A=(aij)，B=(bij)都是m×n矩阵，矩阵A与矩阵B的和记为A+B，规定
   A+B=⎛⎝⎜⎜⎜a11+b11a21+b21...am1+bm1a12+b12a22+b22am2+bm2.........a1n+b1na2n+b2namn+bmn⎞⎠⎟⎟⎟，
   只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算
   设矩阵A=(aij)，记−A=(−aij)，称−A为矩阵A的负矩阵。这样，矩阵的减法可定义为
   A−B=A+(−B)
   ，显然
   A−A=A+(−A)=O
2. 数λ与矩阵A的乘积，记作λA或Aλ，规定
   λA=Aλ=(λaij)=⎛⎝⎜⎜⎜λa11λa21...λam1λa12λa22λam2.........λa1nλa2nλamn⎞⎠⎟⎟⎟.
   数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.特别的，1⋅A=A,(−1)⋅A=−A
3. 矩阵加法和数乘两种运算，统称为矩阵的线性运算.矩阵的线性运算满足以下运算律(设A,B都为m×n矩阵，λ,μ都为数)：
   
   1. 加法交换律：A+B=B+A;
   2. 加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）;
   3. 数乘结合律：λ（μA）=μ(λA)=(λμ)A;
   4. 数乘矩阵的分配律：(λ+μ)A=λA+μA，λ(A+B)=λA+λB.

矩阵的乘法

1. 设A=(aij)是一个m×s矩阵，B=(bij)是一个s×n矩阵，规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C=(cij)，其中
   cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aisbsj=∑k=1saikbkj，i=1,2,...,m；j=1,2,...,n
   ，记作C=AB.（只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，才能相乘）
2. 矩阵乘法满足以下运算规律：
   
   1. 结合律：(AB)C=A(BC);
   2. 分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA;
   3. λ(AB)=(λA)B=A(λB)，其中λ为数;
   4. 设矩阵Am×n，则AEn=EmA=A
3. 若矩阵A与矩阵B满足AB=BA，则称矩阵A,B可交换，否则称为不可交换.显然，可交换的矩阵一定是方阵
4. 设A是一个n阶方阵，记
   A1=A，A2=A⋅A，...，Ak+1=Ak⋅A，
   其中k为正整数，称Ak为方阵A的k次幂，也就是k个A的连乘积.规定A0=E.容易验证方阵的幂运算满足以下运算律：
   AkAl，(Ak)l=Akl
   ，其中k,l都为正整数.
   若多项式f(x)=akxk+ak−1xk−1+...+a1x+a0(ak,ak−1,...,a0均为实数)中的x以方阵A代替，得f(A)=akAk+ak−1Ak−1+...a1A+a0E，称其为方阵A的多项式

矩阵的转置

1. 设矩阵A=(aij)m×n把矩阵A的行换成同序数的列，得到新矩阵B=(aji)n×m，称矩阵B为矩阵A的转置矩阵，记作AT。例如，
   A=(142528)AT=⎛⎝⎜122458⎞⎠⎟
2. 矩阵的转置满足以下运算律：
   
   1. (AT)T=A;
   2. (A+B)T=AT+BT;
   3. (λA)T=λAT
   4. (AB)T=BTAT
3. 设矩阵A为n阶方阵，如果AT=A，即对一切的i,j(1≤i,j≤n)，有
   aij=aji，
   则称矩阵A为对称矩阵
4. 设矩阵A为n阶方阵，如果AT=−A，即对一切的i,j(1≤i,j≤n)，有
   aij=−aji，
   则称矩阵A为反对称矩阵

共轭矩阵

1. 设矩阵A=(aij)为复（数）矩阵，称矩阵A¯¯¯=(aij¯¯¯¯)为矩阵A的共轭矩阵，其中aij¯¯¯¯表示aij¯¯¯¯的共轭复数
2. 共轭矩阵满足以下运算律：
   
   1. A+B¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯+B¯¯¯；
   2. λA¯¯¯¯¯=λ¯+A¯¯¯；
   3. AB¯¯¯¯¯=A¯¯¯⋅B¯¯¯；
   4. AT¯¯¯¯¯=(A¯¯¯)T
      其中λ是复数

方阵的行列式

排列与逆序

1. 将自然数1,2,...,n排成一列称为这n个自然数的一个全排列.n个数的不同全排列有n!个，我们规定按数的大小次序，由小到大的排列称为自然排列
2. 在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序，一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数，通常记为τ(i1i2...in)
3. 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列
4. 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换，将相邻两个元素对调，称为相邻对换
5. 将一个排列中任意两个元素对换，排列的奇偶性改变
6. 自然数1 n(n≥2)的全排列中，奇偶排列各占一半，各为n!2个

n阶方阵的行列式的定义

1. 由n阶方阵A的n2个元素组成如下形式：
   ∣∣∣∣∣∣a11a21...an1a12a22an2.........a1na2nann∣∣∣∣∣∣，
   称为n阶行列式，记为|A|或detA.也可用D来表示.它等于n!项的代数和，其中每一项都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2...anjn，并赋予符号(−1)τ(j1j2...jn).这里，j1j2...jn是1,2,...,n的某个全排列，τ(j1j2...jn)为该排列的逆序数，即
   |A|=∣∣∣∣∣∣a11a21...an1a12a22an2.........a1na2nann∣∣∣∣∣∣=∑(−1)τ(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn，
   
   例如，6阶方阵的行列式由6!项组成的代数和，对于含a12a23a35a41a54a66的项，由于τ(235146)=4，所以其符号为正
   特别的，当n=1时，|A|=|a11|=a11，此处行列式|a|不是a的绝对值，如行列式|−1|=−1
2. 对角矩阵的行列式（除主对角线上的元素外，其余元素都为0）：
   |Λ|=∣∣∣∣∣∣a110...00a220.........00ann∣∣∣∣∣∣=a11a22...ann；
3. 上（下）三角矩阵的行列式：
   |A|=∣∣∣∣∣∣a110...0a12a220.........a1na2nann∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣a11a21...an10a22an2.........00ann∣∣∣∣∣∣=a11a22...ann
4. 负对角矩阵的行列式：
   |Λ|=∣∣∣∣∣∣00...an1.........0a2,n−10a1n00∣∣∣∣∣∣=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1...an1
5. 行列式的等价定义：
   ∣∣∣∣∣∣a11a21...an1a12a22an2.........a1na2nann∣∣∣∣∣∣=∑(−1)τ(i1i2...in)ai11ai22...ainn

方阵的行列式的性质

1. n阶方阵A=(aij)n×n的转置矩阵AT的行列式等于矩阵A的行列式，即
   设⎛⎝⎜⎜⎜a11a21...an1a12a22an2.........a1na2nann⎞⎠⎟⎟⎟，AT=⎛⎝⎜⎜⎜a11a12...a1na21a22a2n.........an1an2ann⎞⎠⎟⎟⎟，则|AT|=|A|.
2. 交换行列式的任意两行（列），行列式变号
3. 如果行列式的某两行（列）对应元素相同，则行列式为0
4. 用数k乘以行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数k乘以此行列式
5. 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面，即
   ∣∣∣∣∣∣∣a11...kai1...an1a12kai2an2.........a1nkainann∣∣∣∣∣∣∣=k∣∣∣∣∣∣∣a11...ai1...an1a12ai2an2.........a1nainann∣∣∣∣∣∣∣
6. 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0
7. 在行列式中，如果某一行（列）都是两数之和，则此行列式等于两个行列式的和，并且这两个行列式除这一行（列）以外，其余的行（列）与原来行列式对应的行（列）一样，即
   ∣∣∣∣∣∣∣a11...ci1+bi1...an1a12ci2+bi2an2.........a1ncin+binann∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣a11...ci1...an1a12ci2an2.........a1ncinann∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣a11...bi1...an1a12bi2an2.........a1nbinann∣∣∣∣∣∣∣
8. 行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变

行列式按行（列）展开

1. 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，余下的n−1阶行列式称为元素aij的余子式，记为Mij，称为(−1)i+jMij为元素aij的代数余子式，记为Aij，即Aij=(−1)i+jMij，例如，
   |A|=∣∣∣∣∣∣a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44∣∣∣∣∣∣，M23=∣∣∣∣a11a31a41a12a32a42a14a34a44∣∣∣∣
   A23=(−1)2+3M23=−M23
2. 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式成绩之和，即
   |A|=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin，i=1,2,...,n
3. 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式成绩之和等于零，即
   ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=0，i≠j.
4. 利用行列式按行（列）展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式的计算，计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含一个非零元素；再按此行（列）展开，变为低一阶的行列式来计算

拉普拉斯定理

1. 在n阶方阵的行列式|A|中，任取k行k列，位于这些行和列交叉位置上的k2个元素，按原来的顺序组成一个新的k阶行列式M，称其为|A|的一个k阶子式，在|A|中，划去这k行k列，余下元素按原来顺序构成一个n−k阶行列式N，称其为M的余子式，(−1)i1+...+ik+j1+...+jkN为M的代数余子式，其中i1,...,ik,j1,...,jk分别是k阶行列式M在|A|中的行标和列标
2. 拉普拉斯定理：在n阶方阵的行列式|A|中，任取k行（列），由这k行（列）组成的所有k阶行列式与它们对应的代数余子式之积求和等于|A|

方阵的行列式的运算律

1. 设A,B都是n阶方阵，λ为实数，则
   （1）|AT|=|A|；（2）|λA|=λn|A|；（3）|AB|=|A||B|
2. n阶方阵A的行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij构成的如下矩阵：
   ⎛⎝⎜⎜⎜A11A12...A1nA21A22A2n.........An1An2Ann⎞⎠⎟⎟⎟，
   称为矩阵A的伴随矩阵，记为A∗
3. 伴随矩阵的性质：AA∗=A∗A=|A|E

逆矩阵

逆矩阵的概念

1. 设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，称矩阵B为矩阵A的逆矩阵
2. 设矩阵B,C都是矩阵A的逆矩阵，有
   AB=BA=E，AC=CA=E，
   因此
   B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.
   ，这说明，如果矩阵A可逆，其逆矩阵一定唯一，记为A−1
3. n阶方阵A可逆的充分必要条件为|A|≠0，且当矩阵A可逆时，A−1=1|A|A∗.其中，A∗为矩阵A的伴随矩阵
4. 当|A|=0时，称矩阵A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，因此，可逆矩阵也称为非奇异矩阵
5. 设矩阵A,B都为n阶方阵，如果AB=E或BA=E，则矩阵A可逆，且A−1=B

逆矩阵的性质

1. 若A可逆，则A−1也可逆，且(A−1)−1=A；事实上，由AA−1=E，有(A−1)−1=A.
2. 若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且(λA)−1=1λA−1
3. 若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB也可逆，且(AB)−1=B−1A−1
4. 设A1,A2,...,Am都是n阶可逆矩阵，则(A1A2...Am)−1=A−1m...A−12A−11
5. 若A可逆，则AT也可逆，且(AT)−1=(A−1)T
6. 若A可逆，则|A−1|=1|A|=|A|−1
7. 设n阶方阵B满足B2=B，称矩阵B为幂等矩阵

矩阵的分块

分块矩阵的概念

1. 将矩阵用若干条纵线和横线将其分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。例如，
   A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜a0−101a−01|||||00−b100−1b⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟=(C1C3C2C4)

分块矩阵的运算

1. 分块矩阵的加法：设矩阵A,B是同型矩阵，采用相同的分快法，有
   A=⎛⎝⎜A11...As1......A1rAsr⎞⎠⎟，B=⎛⎝⎜B11...Bs1.......B1rBsr⎞⎠⎟
   ，其中，Aij与Bij的行数相同、列数也相同，则
   A+B=⎛⎝⎜A11+B11...As1+Bs1......A1r+B1rAsr+Bsr⎞⎠⎟
   ，两个同型矩阵的分块方法相同，它们相加时，只需把对应的子块相加.
2. 分块矩阵的数乘运算：设
   A=⎛⎝⎜A11...As1......A1rAsr⎞⎠⎟，λ
   为数，那么
   λA=⎛⎝⎜λA11...λAs1......λA1rλAsr⎞⎠⎟.
   数乘分块矩阵时，用数遍乘子块即可
3. 分块矩阵的乘法：设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成
   A=⎛⎝⎜A11...As1......A1tAst⎞⎠⎟，B=⎛⎝⎜B11...Bt1......B1rBtr⎞⎠⎟，
   其中，Ai1,Ai2,...,Ait的列数分别等于B1j,B2j,...,Btj的行数，那么
   AB=⎛⎝⎜C11...Cs1......C1rCsr⎞⎠⎟.
   其中，Cij=∑tk=1AikBkj(i=1,...,s;j=1,...,r).
   为了保证乘积的可行性，对矩阵A的列的分法一定要与矩阵B的行的分法一致，对A的行的分法和对B的列的分法可以任意.两个分块矩阵的乘法，以子块为元素，按矩阵的乘法法则相乘
4. 分块矩阵的转置：设A=⎛⎝⎜⎜⎜A11A21...As1A12A22As2.........A1rA2rAsr⎞⎠⎟⎟⎟，则
   AT=⎛⎝⎜⎜⎜⎜AT11AT12...AT1rAT21AT22AT2r.........ATs1ATs2ATsr⎞⎠⎟⎟⎟⎟.
   分块矩阵A的转置，不仅要把分块矩阵的每一“行“变成同序号的“列”，还要把矩阵A的每一子块取转置
5. 分块对角矩阵：设矩阵A为方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即
   A=⎛⎝⎜⎜⎜A1A2...As⎞⎠⎟⎟⎟，
   其中，Ai(i=1,2,...,s)都是方阵，那么称A为分块对角矩阵
   分块对角矩阵具有下述性质：
   
   1. |A|=|A1||A2|...|As|；
   2. 若Ai(i=1,2,...,s)可逆，则A也可逆，且
      A−1=⎛⎝⎜⎜⎜⎜A−11A−12...A−1s⎞⎠⎟⎟⎟⎟
6. 分块对角矩阵乘法性质：
   ⎛⎝⎜⎜⎜A1A2...As⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜B1B2...Bs⎞⎠⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜A1B1A2B2...AsBs⎞⎠⎟⎟⎟

克拉默法则

线性方程组的矩阵表示

对于线性方程组

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1，a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2，...am1x1+am2x2+...+amnxn=bm，

记

A=⎛⎝⎜⎜⎜a11a21...am1a12a22am2.........a1na2namn⎞⎠⎟⎟⎟，x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x1x2...xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟，b=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜b1b2...bm⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

利用矩阵的乘法，则线性方程组可以表示为矩阵形式

Ax=b，

称矩阵A为线性方程组的系数矩阵，矩阵B=(A,b)为线性方程组的增广矩阵

克拉默法则及其应用

1. 克拉默法则：对含有n个未知数、n个方程的线性方程组
   ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1，a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2，...an1x1+an2x2+...+annxn=bn，
   ，如果系数矩阵的行列式|A|不等于零，则方程组有唯一解，并且
   xj=|Aj||A|，j=1,2,...,n，
   其中
   |Aj|=∣∣∣∣∣∣a11a21...an1.........a1,j−1a2,j−1an,j−1b1b2bna1,j+1a2,j+1an,j+1.........a1na2nann∣∣∣∣∣∣
2. 如果含有n个未知数、n个方程的线性方程组Ax=b的系数矩阵的行列式|A|≠0，则方程组Ax=b一定有解，且解是唯一的
3. 如果含有n个未知数、n个方程的线性方程组Ax=b无解或者解不唯一，则其系数矩阵的行列式一定等于0
4. 对线性方程组Ax=b，若常数项b=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜b1b2...bn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟≠⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜00...0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟(b1,b2,...,bn不全为零)，则称此方程组为非齐次线性方程组；当b=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜b1b2...bn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜00...0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟，即b1=b2...=bn=0，则称此方程组为齐次线性方程组.齐次线性方程组Ax=0一定有解，至少有一个解x1=x2=...=xn=0，称此解为齐次方程组的零解，否则称为非零解.
5. 如果含有n个未知数、n个方程的齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的行列式|A|≠0，则齐次线性方程组Ax=0只有零解
6. 如果含有n个未知数、n个方程的齐次线性方程组Ax=0有非零解，则它的系数矩阵的行列式|A|=0

http://blog.csdn.net/vi_nsn/article/details/77949019