2016算法第一次练习赛——C 斐波那契进阶

C 斐波那契进阶

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题目描述

AlvinZH听说大家都掌握了斐波那契数列，先简单了解一下，斐波那契整数序列中，有F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) （n≥2）。这样我们可以快速地求出斐波那契数列的前几项：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

你知道吗？斐波那契序列还有另外一种定义：

AlvinZH不满足于此，他想知道当n很大很大时，F(n)有多大，你来告诉他吧！（结果对10007取模）

输入

输入将由多组测试数据组成，以EOF结尾。

每组数据只含一行，为题中描述的整数n（0≤n≤10^9）。

输出

对于每组数据，输出一行，为F(n)对10007取模的值。

输入样例

011000000000

输出样例

017300

HINT

2×2矩阵的零次幂为单位矩阵（如图1），计算两个2×2矩阵的乘积如图2。

题目分析

  当n很大很大时，再用一般的方法计算斐波那契数列第n项f(n)会耗费很长的时间，这里介绍一种在n很大时效率较高的方法——矩阵乘法。

  我们每次存两个数f[i-1]和f[i-2]，表示数列中的第i-1个数和第i-2的数，如何用这两个数推出我们下一次要存的两个数f[i]和f[i-1]呢？嗯，题目已经说得很清楚了：

        f[i-1]=f[i-1]

        f[i]=f[i-1]+f[i-2]

    可能你会觉得第一句有一点废话，但是是有不一样的意义的，这体现了递推的过程，就是说我们每次扫两个数，根据前面的两个数推出后面的两个数，根据这个我们可以建一个2*2的矩阵A

1110

    然后把我们每次存的两个数放在另一个矩阵B里面：

f[i-1]f[i-2]

    那么把这两个矩阵相乘就可以得到另一个矩阵：

f[i]f[i-1]

    这样就可以得到f[i]了，至于为什么乘了之后会变成这两个数，我们根据矩阵乘法的乘法规律可以很容易推出来。

这样子的话，我们每次用A*B替换B，最后得到的矩阵的第一个数就是f[n]了。

 

    那么，矩阵乘法的优越性究竟体现在哪里呢。其实，矩阵乘法只是体现了我们从之前求的数到现在要求的数的递推过程，就是说矩阵乘法可以完成多个元素的递推。不过这个我们用普通的递推就可以实现的啊~~认真想想我们就能发现，我们在矩阵乘法的过程中把上见面的A矩阵自己相乘了很多遍。就是说，我们可以求A矩阵的幂最后乘上B矩阵，既然要求幂，矩阵乘法满足结合律，那么我们就可以用快速幂啦~~矩阵乘法的优越性就体现在这里：在递推过程变成不断乘以一个矩阵，然后用快速幂快速求得从第一个到第n个的递推式，这样子就可以在短时间内完成递推了。

   快速幂写法：

while(n){    if(n&1) b=a*b;        a=a*a;    n>>=1;}

示例代码

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#define Mod 10007struct node{    int v[3][3];    int m,l;};node get_mul(node a,node b){    node c;    c.m=a.m;c.l=b.l;    for(int i=1;i<=c.m;i++)      for(int j=1;j<=c.l;j++)      {          c.v[i][j]=0;          for(int k=1;k<=a.l;k++)              c.v[i][j]=(c.v[i][j]+a.v[i][k]*b.v[k][j])%Mod;      }    return c;}int main(){    int n;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        if(n==0) {printf("0\n");continue;}        node a,b,c;        a.m=a.l=2,a.v[1][1]=1,a.v[1][2]=1,a.v[2][1]=1,a.v[2][2]=0;        b.m=b.l=2,b.v[1][1]=1,b.v[1][2]=0,b.v[2][1]=0,b.v[2][2]=1;        c.m=2,c.l=1,c.v[1][1]=1,c.v[2][1]=0;        n--;        while(n)        {            if(n&1) b=get_mul(a,b);            a=get_mul(a,a);            n>>=1;        }        b=get_mul(b,c);        printf("%d\n",b.v[1][1]);    }}