非旋转/可持久化treap（转自Sengxian's Blog）

非旋转 Treap 及可持久化 Treap

Published on 2017-10-12

基本知识：普通堆，二叉搜索树，可持久化基本思想。

介绍

性质

Treap = Tree + Heap
Treap 是一颗同时拥有二叉搜索树和堆性质的一颗二叉树
Treap 有两个关键字，在这里定义为：

1. $\text{key}$：满足二叉搜索树性质，即中序遍历按照 $\text{key}$ 值有序。
2. $\text{val}$：满足堆性质，即对于任何一颗以 $x$ 为根的子树，$x$ 的 $\text{val}$ 值为该子树的最值，方便后文叙述，定义为最小值。为了满足期望，$\text{val}$ 值是一个随机的权值，用来保证树高期望为 $\log n$。剩下的 $\text{key}$ 值则是用来维护我们想要维护的一个权值，此为一个二叉搜索树的基本要素。

给出结构体定义：

struct Treap {    int key, val;    Treap *ch[2];};

功能

支持操作：

• 基本操作：
• Build 「构造Treap」$O(n)$
• Merge「合并」$O(\log n)$
• Split「拆分」$O(\log n)$
• Newnode「新建节点」$O(1)$
• 可支持操作：
• Insert「Newnode+Merge」$O(\log n)$
• Delete「Split+Split+Merge」$O(\log n)$
• Find_kth「Split+Split」$O(\log n)$
• Query「Split+Split」$O(\log n)$

实现

建树

建树之前，按照惯例，先看看一个叫笛卡尔树的东西。

笛卡尔树

笛卡尔树是一棵二叉树，树的每个节点有两个值，一个为 $\text{key}$，一个为 $\text{val}$。光看 $\text{key}$ 的话，笛卡尔树是一棵二叉搜索树，每个节点的左子树的 $\text{key}$ 都比它小，右子树都比它大；光看 $\text{val}$ 的话，笛卡尔树有点类似堆，根节点的 $\text{val}$ 是最小（或者最大）的，每个节点的 $\text{val}$ 都比它的子树要大。
笛卡尔树构造是和 Treap 完全一样的，如果 $\text{key}$ 值是有序的，那么笛卡尔树的构造是线性的，所以我们只要把 Treap 当作一颗笛卡尔树构造就可以了。

笛卡尔树的构造

这里对于 $\text{val}$ 而言，我们构造小根堆。
我们将一个节点表示为：$(\text{key},\text{val})$。首先将所有节点按照 $\text{key}$ 从小到大排序。
引入一个栈，栈底存放一个元素 $(-\infty ,-\infty )$，表示超级根，这样保证它总在最上面，他的右儿子即为我们真正的树根。这个栈，维护了笛卡尔树最右边的一条链上面的元素。
从前往后遍历 $(\text{key},\text{val})$：

1. 对于每一个 (keyi,vali)(\text{key}_i, \text{val}_i)(key​i​​,val​i​​)，从栈中找出（从栈顶往栈底遍历）第一个小于等于 vali\text{val}_ival​i​​ 的元素 valj\text{val}_jval​j​​
2. 将 valj\text{val}_jval​j​​ 之上即 val>vali\text{val} > \text{val}_ival>val​i​​ 的点全部弹出。
3. 在树中，将 $j$ 的右子树挂在 $i$ 的左子树上，将 $i$ 挂在原来 $j$ 的右子树的位置。

用很不严谨的话说，就是一个节点 $i$ 来了，我们只考虑在最右边的链插入这个节点。由于要维护堆性质，如果它的 $\text{val}$ 比之前的都大，那么他就可以挂在最右边的链的最后一个，由于 $\text{key}$ 从小到大，不违反二叉搜索树的性质。如果它比之前的某些小，那么找到小于等于它 $\text{val}$ 的元素 $j$，变成它的右儿子，那么堆的性质满足了，又要满足二叉搜索树的性质，所以把原先 $j$ 的右儿子挂在 $i$ 的左子树。

POJ: 1785 可以练一练构造笛卡尔树。

Treap *stack[maxn];void build(int n) {    root = new Treap(-INF, -INF);    stack[0] = root; int sz = 1;    for (int i = 1; i <= n; ++i) {        int p = sz - 1; Treap *now = new Treap(i, rand());        while (stack[p] -> val > now -> val) stack[p--] -> maintain(); //注意到向下插入后，上面的点并没有 maintain，我们在退出的时候 maintain        if (p != sz - 1) now -> ch[0] = stack[p + 1];         stack[p] -> ch[1] = now; sz = p + 1;        stack[sz++] = now;    }    while (sz) stack[--sz] -> maintain();    root = root -> ch[1];}

一定要记住在退栈以及最后的时候maintain！！！maintain！！！maintain！！！

Merge

对于两个相对有序的 Treap，那么 Merge 的复杂度是 $O(\log n)$ 的，否则采用启发式合并，合并两个大小为 $n,m(n\le m)$ 的 Treap 的复杂度是 O(nlogmn)O(n\log\frac m n)O(nlog​n​​m​​) 的，这里不介绍。
先说一说什么叫序，有两种序，一种是以值为序，即中序遍历的值递增。一种是以序列为序，即元素的相对位置，即中序遍历的值为序列（考虑字符串序列）。这两个的差别，仅仅在插入上面。Treap 可以且仅能维护一种序列。
对于以值为序，那么相对有序就是一个 Treap 的最大元素小于另一个 Treap 的最小元素。
对于以序列为序，执行 Merge 操作就是把两个序列首尾相接，自然也就默认左边的 Treap 全部小于后面的 Treap。

Treap 的合并类似左偏树和斜堆，merge(a, b) 是一个递归操作：

• 如果 $a$ 为空，返回 $b$。
• 如果 $b$ 为空，返回 $a$。
• 如果 $a\to \text{val}<b\to \text{val}$，那么执行a->rc=merge(a->rc, b), a->maintain()。
• 如果 $a\to \text{val}>b\to \text{val}$，那么执行b->lc=merge(b->lc, a), b->maintain()。

一定要注意是merge(a, b->lc)而不是merge(b->lc, a)，显然仍然要保证前一个 Treap 小于后一个 Treap。

Treap* merge(Treap *a, Treap *b) {    if (a == null) return b;    if (b == null) return a;    if (a -> val < b -> val) {        a -> ch[1] = merge(a -> ch[1], b);        a -> maintain();        return a;    }else {        b -> ch[0] = merge(a, b -> ch[0]);        b -> maintain();        return b;    }}

Split

对于一个 Treap，我们需要把它以第 $k$ 小拆分，那应该怎么做呢？
根据由于 Treap 具有排序二叉树的性质，左子树全部小于根，右子树全部大于根，如果第 $k$ 小在左子树，那么包含前 $k$ 小的节点不会在右子树；如果第 $k$ 小在右i子树，那么包含前 $k$ 小的节点完全包含左子树，这样就很好写递归了。
由于树高是 $\log n$ 的，所以复杂度当然也是 $\log n$ 的，这样 Treap 有了 Split 和 Merge 操作，我们可以做到提取区间，也因此可以区间覆盖，也可以区间求和等等。除此之外因为没有了旋转操作，我们还可以进行可持久化，这个下文会讲到。

typedef pair<Treap*, Treap*> Droot;Droot split(Treap *o, int k) {    Droot d(null, null);    if (o == null) return d;    if (k <= o -> ch[0] -> s) {        d = split(o -> ch[0], k);        o -> ch[0] = d.second;        o -> maintain();        d.second = o;    }else {        d = split(o -> ch[1], k - o -> ch[0] -> s - 1);        o -> ch[1] = d.first;        o -> maintain();        d.first = o;    }    return d;}

NewNode

太简单不说了。

Treap* newNode(int key) {    pit -> key = key, pit -> val = rand(); //pit 内存池    pit -> s = 1, pit -> ch[0] = pit -> ch[1] = null;    return pit++;}

可支持操作

一切可支持操作都可以通过以上四个基本操作完成：
Merge和Split可用提取区间，因此可以操作一系列区间操作
Newnode单独拿出来很必要，这样在可持久化的时候会很轻松

练习

学了数据结果总得练习一下是吧：
UVa 11922：翻转操作，以区间为序。

可持久化

所谓可持久化，就是保存历史版本，比如有 10 个版本，那么就有 10 个根，从哪个根访问，就访问的是哪个版本。可持久化的原则就是：用新建代替修改，尽量复用空间。
对于可持久化，我们可以先来看看主席树（可持久化线段树）是怎么可持久化的：由于只有父亲指向儿子的关系，所以我们可以在线段树进入修改的时候把沿途所有节点都 copy 一遍，然后把需要修改的指向儿子的指针修改一遍就好了，因为每次都是在原途上覆盖，不会修改前一次的信息。由于每次只会 copy 一条路径，而我们知道线段树的树高是 $\log n$ 的，所以时空复杂度都是 $n\log n$。
我们来看看旋转的 Treap，现在应该知道为什么不能可持久化了吧？如果带旋转，那么就会破环原有的父子关系，破环原有的路径和树形态，这是可持久化无法接受的。如果把 Treap 变为非旋转的，那么我们可以发现只要可以可持久化 Merge 和 Split 就可一完成可持久化。
因为上文说到了「一切可支持操作都可以通过以上四个基本操作完成」，而 Build 操作只用于建造无需理会，newNode 就是用来可持久化的工具。我们来观察一下 Merge 和 Split，我们会发现它们都是由上而下的操作！因此我们完全可以参考线段树的可持久化对它进行可持久化。
与非可持久化不同的是，我们从不修改传入的任何节点，我们只新建节点，当每次需要修改一个节点，就 newNode 出来与以前一样的做就可以了。

UVa 12538：可持久化 Treap 入门题，强制在线。

//  Created by Sengxian on 3/25/16.//  Copyright (c) 2016年 Sengxian. All rights reserved.//  UVa 12538 可持久化 Treap#include <algorithm>#include <iostream>#include <cctype>#include <climits>#include <cassert>#include <cstring>#include <cstdio>#include <cmath>#include <vector>#include <queue>#include <ctime>#include <stack>#define ls ch[0]#define rs ch[1]using namespace std;int _n, _ch; bool _flag;inline int ReadInt() {    _n = 0, _ch = getchar(), _flag = false;    while (!isdigit(_ch)) _flag |= _ch == '-', _ch = getchar();    while (isdigit(_ch)) _n = (_n << 3) + (_n << 1) + _ch - '0', _ch = getchar();    return _flag ? -_n : _n;}const int maxn = 50000 + 3, maxadd = 100 + 3, INF = 0x3f3f3f3f;struct Treap *null, *pit;struct Treap {    int key, val, s;    Treap *ch[2];    Treap() {}    Treap(int key, int val = rand()): key(key), val(val), s(1) {ch[0] = ch[1] = null;}    void *operator new(size_t) {return pit++;}    inline void maintain() {s = ch[0] -> s + ch[1] -> s + 1;}}pool[4000000 + 3], *root[maxn];inline Treap* newNode(const Treap *o) {    if (o == null) return null;    Treap *now = new Treap();    *now = *o;    return now;}Treap* merge(const Treap *a, const Treap *b) {    if (a == null) return newNode(b);    if (b == null) return newNode(a);    if (a -> val < b -> val) {        Treap *na = newNode(a);        na -> rs = merge(a -> rs, b);        na -> maintain();        return na;    }else {        Treap *nb = newNode(b);        nb -> ls = merge(a, b -> ls);        nb -> maintain();        return nb;    }}typedef pair<Treap*, Treap*> Droot;Droot split(const Treap *o, int k) {    Droot d(null, null);    if (o == null) return d;    if (k == 0) return Droot(null, newNode(o));    if (k == o -> s) return Droot(newNode(o), null);    int s = o -> ls -> s;    Treap *newroot = newNode(o);    if (k <= s) {        d = split(o -> ls, k);        newroot -> ls = d.second;        newroot -> maintain();        d.second = newroot;    }else {        d = split(o -> rs, k - s - 1);        newroot -> rs = d.first;        newroot -> maintain();        d.first = newroot;    }    return d;}Treap *stk[maxadd];Treap *build(char *str) {    Treap *root = new Treap(-INF, -INF);    stk[0] = root; int sz = 1;    for (int i = 0; str[i]; ++i) {        Treap *now = new Treap(str[i]); int p = sz - 1;        while (stk[p] -> val > now -> val) stk[p--] -> maintain();        if (p != sz - 1) now -> ls = stk[p + 1];        stk[p] -> rs = now; sz = p + 1;        stk[sz++] = now;    }    while (sz) stk[--sz] -> maintain();    return root = root -> rs;}int cntC = 0;void print(Treap *o) {    if (o == null) return;    print(o -> ls);    putchar(o -> key);    if (o -> key == 'c') cntC++;    print(o -> rs);}char a[maxadd];int main() {    srand(time(NULL));    pit = pool, null = new Treap();    null -> s = 0;    int n = ReadInt(), cnt = 0;    root[cnt] = null;    for (int i = 0; i < n; ++i) {        int oper = ReadInt();        if (oper == 1) {            int p = ReadInt() - cntC;            scanf("%s", a);            Droot l = split(root[cnt], p);            root[++cnt] = merge(merge(l.first, build(a)), l.second);        }else if (oper == 2) {            int p = ReadInt() - cntC, c = ReadInt() - cntC;            Droot l = split(root[cnt], p - 1), r = split(l.second, c);            root[++cnt] = merge(l.first, r.second);        }else if (oper == 3) {            int v = ReadInt() - cntC, p = ReadInt() - cntC, c = ReadInt() - cntC;            Droot l = split(root[v], p - 1);            Droot r = split(l.second, c);            print(r.first); putchar('\n');        }else assert(false);    }    return 0;}