[模板]KMP算法

KMP算法简介

什么是KMP算法？？？
KMP算法是由分别姓K/M/P的三个人提出来的。这个算法主要应用于字符串之间的匹配用的。有人会说：字符串匹配？？string类型不是有个成员函数find呢？咳咳，我先要说明的是，c++std里面自带的库函数肯定都是时间复杂度超级高的，如果真的有逆天的函数，时间复杂度很优秀的库函数，CCF是不让用的，比如CCF已经禁用了所有以下划线开头的库函数，例如__gcd()函数。因为pascal真的这种东西什么都没有，为了保持相对平衡，不让用这种东西。
好吧言归正传：
KMP跟传统的暴力枚举匹配的一个最大的空间上的区别就是多了一个next数组，这个next数组起到的作用是：比较A中有没有子串B的过程中，在发现两个字符不相匹配的时候，指向字符串A的指针不变，指向字符串B的指针就向前跳几个单位，保证这个指针以及之前的B串都是跟A的子串匹配的。而next数组就是用来存跳的单位数。
引用一个大佬的例子

假如，A=”abababaababacb”，B=”ababacb”，我们来看看KMP是怎么工作的。我们用两个指针i和j分别表示，A[i-j+ 1..i]与B[1..j]完全相等。也就是说，i是不断增加的，随着i的增加j相应地变化，且j满足以A[i]结尾的长度为j的字符串正好匹配B串的前 j个字符（j当然越大越好），现在需要检验A[i+1]和B[j+1]的关系。当A[i+1]=B[j+1]时，i和j各加一；什么时候j=m了，我们就说B是A的子串（B串已经整完了），并且可以根据这时的i值算出匹配的位置。当A[i+1]<>B[j+1]，KMP的策略是调整j的位置（减小j值）使得A[i-j+1..i]与B[1..j’]保持匹配且新的B[j’+1]恰好与A[i+1]匹配（从而使得i和j能继续增加）。我们看一看当 i=j=5时的情况。
i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 1 2 3 4 5 6 7
此时，A[6]<>B[6]。这表明，此时j不能等于5了，我们要把j改成比它小的值j’。j’可能是多少呢？仔细想一下，我们发现，j’必须要使得B[1..j]中的头j’个字母和末j’个字母完全相等（这样j变成了j’后才能继续保持i和j的性质）。这个j’当然要越大越好。在这里，B [1..5]=”ababa”，头3个字母和末3个字母都是”aba”。而当新的j为3时，A[6]恰好和B[4]相等。于是，i变成了6，而j则变成了 4：
i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 1 2 3 4 5 6 7
从上面的这个例子，我们可以看到，新的j可以取多少与i无关，只与B串有关。我们完全可以预处理出这样一个数组P[j]，表示当匹配到B数组的第j个字母而第j+1个字母不能匹配了时，新的j最大是多少。P[j]应该是所有满足B[1..P[j]]=B[j-P[j]+1..j]的最大值。
再后来，A[7]=B[5]，i和j又各增加1。这时，又出现了A[i+1]<>B[j+1]的情况：
i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 1 2 3 4 5 6 7
由于P[5]=3，因此新的j=3：
i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 1 2 3 4 5 6 7
这时，新的j=3仍然不能满足A[i+1]=B[j+1]，此时我们再次减小j值，将j再次更新为P[3]：
i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 1 2 3 4 5 6 7
现在，i还是7，j已经变成1了。而此时A[8]居然仍然不等于B[j+1]。这样，j必须减小到P[1]，即0：
i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 0 1 2 3 4 5 6 7

终于，A[8]=B[1]，i变为8，j为1。事实上，有可能j到了0仍然不能满足A[i+1]=B[j+1]（比如A[8]="d"时）。因此，准确的说法是，当j=0了时，我们增加i值但忽略j直到出现A[i]=B[1]为止。

KMP算法代码

int j=-1;//边界因为string的第1个元素下标是0for(int i=0;i<a.size();i++)//枚举字符串A{    while ((j>-1)&&(b[j+1]!=a[i]))   j=next[j];//如果j>-1就代表已经不是第一次的查找了，如果b[j+1]!=a[i]就代表这个字符串的某个元素不匹配，j需要通过next数组进行向前跳    if (b[j+1]==a[i])  j++;    if (j==b.size()-1) //找到匹配，当然可以继续找下一个匹配    {        cout<<i-m<<endl;        j=next[j];//最后的j=next[j]是为了让程序继续做下去，因为我们有可能找到多处匹配    }}

预处理next数组

对于next数组的预处理也是b串的自我匹配的过程：

next[0]=-1;  //string 的第一个元素下标是0，所以边界设为-1；int j=-1;//边界-1for(int i=1;i<b.size();i++){    while ((j>=0)&&(b[j+1]!=b[i]))   j=next[j];//如果不匹配就向前跳    if (b[j+1]==b[i])  j++;//如果匹配就累加    next[i]=j;//更新next数组}