卷积的理解

上学期上过信号处理这门课，整理过一些卷积的资料，放下了，最近在看SIFT,又重新过了一遍。
卷积理解起来还是十分抽象的，看了很多资料才算一知半解吧，以下贴出。

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只要接触过卷积的人一定会知道“反褶、平移、积分”这句话，大部分人解释卷积也是靠这句话，但这句话非常空洞，卷积又是一个十分抽象的东西，我也被此困扰好久，别人要是问对卷积的理解，也就只能回答“反褶–平移–积分”，往深处挖就不知道了，实在是尴尬。所以下面我将从卷积的定义、卷积的计算、卷积的应用等几个方面说明。

卷积的定义

补充单位脉冲和单位脉冲响应的定义

单位脉冲：

下面是在matlab中的波形图

单位脉冲响应：当系统的初始状态为零时，这时给系统输入一个单位脉冲序列 x(t)=δ(t) ，则系统的输出称为单位脉冲响应，简称脉冲响应，用符号 h(t) 表示。（注意δ(t) 面积为1）。

正式步入卷积。先给出定义式，再一步步解释（这里只讨论线性时不变系统下连续的定义）

 y(t)=∫+∞−∞μ(τ)h(t−τ)dτ

下面以图来解释这个式子怎么来的：

图中左边为输入信号，左边为系统的输出。

(a)中，输入信号 p(t) 经过系统后得到输出信号 h(t) ；

(b)中，输入信号较之于(a)延迟了τ ，表示为 p(t−τ) ，由于是LTI（线性时不变系统），输出信号也延迟τ ，变为 h(t−τ) ；

(c)、(d)两图阐释了LTI的叠加原理：若以 p(t)+p(t−τ) 为输入，则输出为 h(t)+h(t−τ) ；

假设现在有一个输入信号μ(t) ，将其表示为若干个我们刚刚见过的 p(t) 的叠加。

注意：定义  pΔ(t) 和 hΔ(t)  ，当Δ→0  时趋近于δ(t)  和  h(t)  。（同样注意 pΔ(t)  的高度为1Δ  ，面积为 1）

所以输入信号μ(t) 可以拆分成很多  pΔ(t) 的和。

μ(t)≈μ(0)pΔ(t)Δ+μ(Δ)pΔ(t−Δ)Δ+μ(2Δ)pΔ(t−2Δ)Δ+...

输出信号：

 y(t)≈μ(0)hΔ(t)Δ+μ(Δ)hΔ(t−Δ)Δ+μ(2Δ)hΔ(t−2Δ)Δ+... 

得到 y(t) 的过程就可以看做一个加权叠加的过程。

 y(t)=Δ∑i=0+∞μ(iΔ)h(t−iΔ) 

用 p(t) 表示的μ(t) 并不是精确的μ(t) 啊，那些小长条的面积比μ(t) 的面积可少了不少呢。除非Δ 尽可能的小，长条尽可能的窄。这就是联想到积分了。

下面是由上面的 y(t) 转化为积分的过程。
令iΔ=τ ，作转化Δ=1i⋅τ 。则上式就可转化如下：

 y(t)=1i∑i=0+∞μ(iΔ)h(t−iΔ)⋅τ 

因此就有积分式：

 y(t)=∫+∞−∞μ(τ)h(t−τ)dτ

（取负无穷是考虑到当前时刻前已经有输入了）
以上是卷积的定义，也就是卷积式的由来。

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卷积的计算

前面我们说过很多人用“反褶、平移、积分”来描述卷积，前面已经阐述了卷积定义，这里，更倾向于把这句话当做是计算卷积的过程而不是来解释卷积。

首先看一张图：

有俩个输入信号 f(t) 和 g(t) 。以下卷积具体步骤。

1、改变图中横坐标，由 t 改为 τ ，τ 就变成函数的自变量。
2、把其中的一个信号反褶，如图中矩形框框出来的部分。
3、把反褶的信号作位移，位移量为 t ，如上图。
4、位移，并将俩信号量重叠部分相乘 f(τ)⋅g(t−τ) 。
5、完成相乘后图形的积分（其实也就是俩信号重叠部分的面积）。

下面再贴出wiki上的动图，更易理解:
黄色区域是重叠面积，新生成的曲线是时间 t 的函数。也就是卷积的这种表述形式：

 (f∗g)(t)=∫+∞−∞f(τ)g(t−τ)dτ 

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卷积的应用

卷积的应用非常多，这里拿图像处理中使用卷积为例。
在matlab中，我们常用的卷积计算函数有conv和conv2。下面就分别介绍

conv2
conv2是二维矩阵卷积运算。conv2的具体实现步骤可以参见这篇博文。我们再对输入图像使用卷积时候滤波器的大小最好为奇数，这样它才有一个中心（高斯模糊卷积矩阵一般选用 3×3 或 7×7 ）。

如下图，对图像进行卷积运算和以很清晰的检测出边缘

conv

conv是向量间卷积运算。它的参数跟conv2是一样的。

一般向量间的卷积计算我们可以这样理解：
如 u=[131] 和 v=[27] ，我们把向量 u 内元素写成多项式升幂排列 x2+3x+1 ，同理向量 v 内元素也以升幂排列 2x2+7 ，我们将俩个多项式相乘，结果也是按升幂排列 2x3+13x2+23x+7 。所以卷积得到的结果是 [213237] 。在matlab中验证如下：

参考：
知乎中卷积的通俗解释
wiki中卷积的解释